Dziękuję adminowi Luka52, za pozwolenie zamieszczenia „Nowej teorii implikacji” na forum matematyka.pl
http://matematyka.pl/post611931.htm#p611931
Wstęp do nowej teorii implikacji
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Wigilijne marzenie Kubusia … to akceptacja przez człowieka algebry Kubusia
Witam !
Jestem absolwentem Politechniki Warszawskiej (1980r) wydział elektroniki, specjalistą w teorii cyfrowych układów logicznych (bramki logiczne). Napisałem podręcznik na temat technicznej algebry Boole’a (bramki logiczne) oraz podręcznik o języku asemblera mikroprocesorów (też 100% algebra Boole’a).
Prawie cztery lata temu przypadkowo zainteresowałem się implikacją, kompletnie nieznaną i nie wykorzystywaną w świecie techniki. W świecie techniki implikacja to bezsens i nigdy nie znajdzie tu zastosowania (szczegóły w linku).
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde). Po wielu latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.
Powstała „Nowa teoria implikacji”:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12...html#94138
Od strony matematycznej nowa teoria jest na 100% bez zarzutu. Poprawność tej teorii można bardzo łatwo udowodnić (sic! - pkt.5.0) w „Laboratorium cyfrowych układów logicznych”, przy pomocy nieznanych człowiekowi bramek logicznych „musi” => i „może” ~>.
Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR.
Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych
Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ?
Będę wdzięczny za jakąkolwiek pomoc w upowszechnianiu nowej idei.
e-mail: rafal3006@post.pl
Pozdrawiam wszystkich użytkowników forum ateista.pl,
Rafal3006
P.S.
W tym temacie możemy podyskutować na temat skończonej w 100% „Nowej teorii implikacji”.
W dyskusji nad „Nową teorią implikacji” proponuję skupić się na punkcie 1.0, będącym kompendium wiedzy o nowej teorii. Polecam też punkt 5.0, czyli nową teorię w bramkach logicznych, będący dowodem absolutnej poprawności matematycznej tej teorii. To ostanie mocne stwierdzenie jest oczywistością dla wszystkich logików praktyków … tych od bramek logicznych.
Oczywiście nie mam nic przeciwko, aby całą „Nową teorię implikacji” zamieścić na zaprzyjaźnionym forum ateista.pl … jeśli takie będzie życzenie forumowiczów.
********************************************************************************************
Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).
Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego
Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Implikacja
Część III Nowa teoria implikacji
Kompendium algebry Kubusia
… czyli początek podpisu.
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.
Spis treści:
1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)
1.1 Notacja
1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.3 Definicja implikacji prostej
1.4 Definicja implikacji odwrotnej
1.5 Prawa Kubusia
1.6 Równanie ogólne implikacji
1.7 Algorytm działania implikacji prostej
1.8 Równoważność
1.9 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
2.0 Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia)
2.1 Implikacja prosta
2.2 Implikacja odwrotna
3.0 Równanie ogólne implikacji
3.1 Gwarancje w implikacji
4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
4.1 Implikacja prosta - algorytm działania
4.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania
5.0 Prawa de’Morgana i prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych
5.2 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
5.4 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
5.5 Punkt odniesienia w implikacji
6.0 Obietnice i groźby
6.1 Obietnica
6.2 Rodzaje obietnic
6.3 Groźba
6.4 Złożone formy gróźb i obietnic
6.5 Wolna wola
7.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
7.1 Obietnica w równaniach matematycznych
7.2 Groźba w równaniach matematycznych
8.0 Nowa teoria implikacji w praktyce
8.1 Następstwo czasowe w implikacji
9.0 Rodzaje implikacji
10.0 Porównanie nowej i starej teorii implikacji
Wstęp.
Od strony matematycznej nowa teoria implikacji to poziom I klasy LO. W przypadku kłopotów ze zrozumieniem zawsze można sięgnąć do dwóch pierwszych części gdzie wszystko jest bardziej szczegółowo wyłożone. Punkt 1.0 to kompendium algebry Kubusia, czyli wszystko co najważniejsze ze wszystkich trzech części. Kompletna nieznajomość dzisiejszej logiki w zakresie implikacji to zaleta w czytaniu tej publikacji a nie wada. Zawodowców proszę, aby na czas czytania zapomnieli o definicji implikacji materialnej i przyjęli za bazę nowe definicje implikacji tu podane.
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde).
Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu
Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Nowa teoria to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR.
Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych
Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ?
1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)
... czyli wszystko co najważniejsze ze wszystkich trzech części "Algebry Kubusia"
1.1 Notacja;
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(… - nie może się zdarzyć
# - różne
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka.
A.
Implikacja materialna:
http://www.zgapa.pl/zgapedia/Implikacja.html
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
B.
Implikacja ścisła:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Logika_modalna
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco …
Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia
Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 3)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
3.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 5)
W sumie w publikacji obalono aż 8 implikacyjnych mitów oznaczonych Prawda 1 do Prawda 8, że nie wspomnę o takich drobiazgach jak odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.
1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1
Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0
Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~[~A*(~B+C)]
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
1.3 Definicja implikacji prostej =>
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Definicja w równaniu algebry Boole’a.
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji prostej =>:
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 1
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
Nie ma implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> !
1.4 Definicja implikacji odwrotnej ~>
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>:
Definicja w równaniu algebry Boole’a
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 2
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie.
Nie ma implikacji odwrotnej ~> bez implikacji prostej => !
1.5 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND
Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.
Dowód metodą zero-jedynkową:
Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.
1.6 Równanie ogólne implikacji
Na mocy definicji implikacji zachodzi:
p=>q # p~>q
bo to dwie różne tabele zero-jedynkowe
p=>q # p~>q
warunek wystarczający => między p i q # warunek konieczny ~> między p i q
Po obu stronach nierówności korzystamy z praw Kubusia i praw de’Morgana otrzymując równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)
Mamy tu dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
Przykład implikacji prostej =>:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Po zamianie p i q będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu przybierze postać:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+~P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 )
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, zauważmy że po obu stronach nierówności gwarancje są różne.
Lewa strona:
P8=>P2 = ~(~P8*P2)
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2)
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Prawa strona:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8 )
Gwarantowane liczby: 1,3,5 …
Prawda 3
Z powyższego równania ogólnego mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
czyli:
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawda 4
Zauważmy wyżej, że w implikacyjnych AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów, czyli ~(P8*~P2) to zupełnie co innego niż ~(~P2*P8 ). Dodatkowo z poziomu operatorów AND i OR nie mamy dostępu do fenomenalnych praw Kubusia. Z tego powodu operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są niezbędne w logice klasycznej.
Rodzaje implikacji:
1.
matematyka (p) - matematyka (q)
Przykład wyżej:
P8=>P2 i P2~>P8
Oczywiście na mocy definicji implikacji:
P8=>P2 # P2~>P8
2.
przyroda (p) - przyroda (q)
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym deszczu, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
po zamianie p i q mamy poprawną implikację prostą:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, zatem implikacja prosta prawdziwa
Oczywiście na mocy definicji:
CH~>P # P~>CH
W 1 i 2 sensowna będzie zarówno implikacja prosta p=>q jak i implikacja odwrotna p~>q powstała poprzez zamianę p i q.
Sensowne i prawdziwe nie oznacza równoważne, bowiem operator implikacji prostej => (warunek wystarczający) to fundamentalnie co innego niż operator implikacji odwrotnej ~> (warunek konieczny).
Na mocy definicji:
p=>q # p~>q
czyli:
warunek wystarczający między p i q # warunek konieczny między p i q
Fałszywość prawa kontrapozycji doskonale widać w implikacjach typu:
3.
człowiek (p) - człowiek (q)
czyli we wszelkich obietnicach i groźbach o których w dalszej części publikacji.
4.
przyroda martwa (p) - człowiek (q)
Przykład;
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>O =1
Obietnica, zatem implikacja prosta.
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla otworzenia parasolki, zatem jest to implikacja prosta => prawdziwa.
Prawo kontrapozycji:
P=>O = ~O=>~P
czyli:
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~O=>~P =0
Oczywisty nonsens !
„Nie otwarcie parasolki” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie padania”, zatem na mocy definicji implikacji prostej => jest to implikacja prosta fałszywa.
Prawo Kubusia:
~O=>~P = O~>P =0
Oczywiście poprawny aparat matematyczny z fałszu wygeneruje fałsz, nic innego nie może !
Jeśli otworzę parasolkę to może padać
O~>P =0
Otwarcie parasolki nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa
CND
1.7 Algorytm działania implikacji prostej
Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.
Algorytm działania implikacji prostej =>:
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.
Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
Analiza:
Jeśli zajdzie p
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej !
1 1 =1
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies
stąd:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - pudełko puste
1 0 =0
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli zajdzie ~p
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka …
0 0 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo kura …
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
0 1 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń…
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Prawda 5
~p~~>q =1
0 1 =1
Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że:
Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1
Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej.
1.8 Równoważność
Zacznijmy od …
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
W równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, nie ma tu śladu operatora implikacji odwrotnej ~> jak w definicji implikacji prostej wyżej.
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p i q oraz między ~p i ~q. Nie ma tu śladu implikacji i prawa Kubusia widocznego w definicji implikacji wyżej.
Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej i równoważności.
Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne.
Dowód:
Definicje implikacji i równoważności wyżej
Twierdzenie:
Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p i q oraz między ~p i ~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Z powyższego wynika, że nauczyciel matematyki nie może zabraniać dziecku wypowiadania formy p=>q, ~p=>~q, bo niby jak wtedy udowodnić równoważność ?
Dowód równoważności na przykładzie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
R=>BR
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe
Oczywistość, zatem:
R=>BR =1
W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>.
Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~R=>~BR
Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych
Oczywistość, zatem:
~R=>~BR =1
Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe.
R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1
Prawda 6
Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej.
Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe
R=>BR
stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający.
Prawda 7
Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala !
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
CND
Prawda 8
Dzisiejsza definicja równoważności jest fałszywa.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
jeśli prawą stronę będziemy rozumieli jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p.
Dowód:
Dla implikacji w algebrze Boole’a mamy:
p=>q # q=>p
zatem jeśli p=>q = 1 to q=>p =0 albo odwrotnie, stąd:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
Niemożliwa jest implikacja prosta w dwie strony, zatem błędna jest interpretacja prawej strony równoważności jakoby chodziło tu o dwie implikacje proste p=>q i q=>p.
Dziewicza definicja równoważności na podstawie tabeli operatorowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające, to nie są implikacje !
W równoważności argumenty są przemienne i tu prawdziwe jest prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o iloczyn logiczny warunków wystarczających p=>q i q=>p, to nie są implikacje !
1.9 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q
Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest równoważnością to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający. Jeśli w stronę q=>p również stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, nie jest to zatem implikacja odwrotna.
Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność
Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje. Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !
Twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów.
~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający
Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1
Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>.
Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ?
Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ?
Definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
… bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p.
Po stronie ~p może być oczywiście:
~p=>~q - warunek wystarczający
czyli:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
wtedy całe zdanie jest równoważnością !
ALBO !
~p~>~q - warunek konieczny
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1
tu całe zdanie jest implikacją !
Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a.
Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a.
p|=>q = ~p+q - implikacja
albo:
p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność
… ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu.
Prawo Misia:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności
Algebra Kubusia to nieznany dzisiejszym matematykom symboliczny język asemblera, czyli naturalna logika 5-cio letniego dziecka mająca 100% przełożenia na algebrę Boole’a czyli zera i jedynki.
W technice mikroprocesorowej człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka, natychmiast wynalazł symboliczny język asemblera izolując się od idiotycznych zer i jedynek czyli … skopiował działanie własnego mózgu. Język asemblera dla dowolnego mikroprocesora jest jeden (to algebra Boole’a), natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.
O co chodzi z tą nadmierną precyzją ?
Sięgnijmy do historii.
Pierwszy przyzwoity 8-bitowy mikroprocesor, Intel 8080 pojawił się w 1974 roku. Na jego podstawie powstał w 1978 roku mikroprocesor 16-bitowy Intel 8086, będący bazą dzisiejszych Pentium X. Ciekawostką jest fakt, że programy napisane w języku asemblera dla procesora I8086 (z 1978 roku !) będą pracowały poprawnie na najnowszych Pentiumach.
Tuż po pojawieniu się pierwszego przyzwoitego mikroprocesora (rok 1974), ludzie usiłowali opisać język asemblera w sposób absolutnie precyzyjny. Doszło do tego, że fachowa literatura pełna była niesamowitych krzaków ciężko zrozumiałych nawet dla fachowców.
Drobny przykład nadmiernej precyzji.
A - nazwa rejestru procesora
(A) - zawartość rejestru procesora o nazwie A (konkretna liczba)
PC - nazwa rejestru licznika rozkazów
(PC) - zawartość rejestru licznika rozkazów o nazwie PC (konkretna liczba)
((PC)) - zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie PC
(A) -> ((PC))
Operacja przesłania zawartości rejestru o nazwie A do komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru na nazwie PC (licznik rozkazów).
Ludzie szybko się opamiętali i w katalogach znajdziemy taki uproszczony zapis:
A -> (PC)
Przesłanie rejestru A do komórki pamięci wskazywanej przez PC
Mózg człowieka to nie komputer i nie ma tu znaczenia, że w tym przypadku symbol A jest dwuznaczny:
A - nazwa rejestru
A - zawartość rejestru o nazwie A
Poprawne znaczenie A wynika tu z kontekstu. To jest dokładnie tak samo jak w języku mówionym człowieka np. morze i może.
http://matematyka.pl/post611931.htm#p611931
Wstęp do nowej teorii implikacji
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Wigilijne marzenie Kubusia … to akceptacja przez człowieka algebry Kubusia
Witam !
Jestem absolwentem Politechniki Warszawskiej (1980r) wydział elektroniki, specjalistą w teorii cyfrowych układów logicznych (bramki logiczne). Napisałem podręcznik na temat technicznej algebry Boole’a (bramki logiczne) oraz podręcznik o języku asemblera mikroprocesorów (też 100% algebra Boole’a).
Prawie cztery lata temu przypadkowo zainteresowałem się implikacją, kompletnie nieznaną i nie wykorzystywaną w świecie techniki. W świecie techniki implikacja to bezsens i nigdy nie znajdzie tu zastosowania (szczegóły w linku).
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde). Po wielu latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.
Powstała „Nowa teoria implikacji”:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12...html#94138
Od strony matematycznej nowa teoria jest na 100% bez zarzutu. Poprawność tej teorii można bardzo łatwo udowodnić (sic! - pkt.5.0) w „Laboratorium cyfrowych układów logicznych”, przy pomocy nieznanych człowiekowi bramek logicznych „musi” => i „może” ~>.
Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR.
Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych
Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ?
Będę wdzięczny za jakąkolwiek pomoc w upowszechnianiu nowej idei.
e-mail: rafal3006@post.pl
Pozdrawiam wszystkich użytkowników forum ateista.pl,
Rafal3006
P.S.
W tym temacie możemy podyskutować na temat skończonej w 100% „Nowej teorii implikacji”.
W dyskusji nad „Nową teorią implikacji” proponuję skupić się na punkcie 1.0, będącym kompendium wiedzy o nowej teorii. Polecam też punkt 5.0, czyli nową teorię w bramkach logicznych, będący dowodem absolutnej poprawności matematycznej tej teorii. To ostanie mocne stwierdzenie jest oczywistością dla wszystkich logików praktyków … tych od bramek logicznych.
Oczywiście nie mam nic przeciwko, aby całą „Nową teorię implikacji” zamieścić na zaprzyjaźnionym forum ateista.pl … jeśli takie będzie życzenie forumowiczów.
********************************************************************************************
Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).
Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego
Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Implikacja
Część III Nowa teoria implikacji
Kompendium algebry Kubusia
… czyli początek podpisu.
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.
Spis treści:
1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)
1.1 Notacja
1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.3 Definicja implikacji prostej
1.4 Definicja implikacji odwrotnej
1.5 Prawa Kubusia
1.6 Równanie ogólne implikacji
1.7 Algorytm działania implikacji prostej
1.8 Równoważność
1.9 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
2.0 Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia)
2.1 Implikacja prosta
2.2 Implikacja odwrotna
3.0 Równanie ogólne implikacji
3.1 Gwarancje w implikacji
4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
4.1 Implikacja prosta - algorytm działania
4.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania
5.0 Prawa de’Morgana i prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych
5.2 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
5.4 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
5.5 Punkt odniesienia w implikacji
6.0 Obietnice i groźby
6.1 Obietnica
6.2 Rodzaje obietnic
6.3 Groźba
6.4 Złożone formy gróźb i obietnic
6.5 Wolna wola
7.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
7.1 Obietnica w równaniach matematycznych
7.2 Groźba w równaniach matematycznych
8.0 Nowa teoria implikacji w praktyce
8.1 Następstwo czasowe w implikacji
9.0 Rodzaje implikacji
10.0 Porównanie nowej i starej teorii implikacji
Wstęp.
Od strony matematycznej nowa teoria implikacji to poziom I klasy LO. W przypadku kłopotów ze zrozumieniem zawsze można sięgnąć do dwóch pierwszych części gdzie wszystko jest bardziej szczegółowo wyłożone. Punkt 1.0 to kompendium algebry Kubusia, czyli wszystko co najważniejsze ze wszystkich trzech części. Kompletna nieznajomość dzisiejszej logiki w zakresie implikacji to zaleta w czytaniu tej publikacji a nie wada. Zawodowców proszę, aby na czas czytania zapomnieli o definicji implikacji materialnej i przyjęli za bazę nowe definicje implikacji tu podane.
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde).
Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu
Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Nowa teoria to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR.
Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych
Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ?
1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)
... czyli wszystko co najważniejsze ze wszystkich trzech części "Algebry Kubusia"
1.1 Notacja;
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(… - nie może się zdarzyć
# - różne
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka.
A.
Implikacja materialna:
http://www.zgapa.pl/zgapedia/Implikacja.html
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
B.
Implikacja ścisła:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Logika_modalna
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco …
Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia
Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 3)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
3.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 5)
W sumie w publikacji obalono aż 8 implikacyjnych mitów oznaczonych Prawda 1 do Prawda 8, że nie wspomnę o takich drobiazgach jak odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.
1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1
Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0
Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~[~A*(~B+C)]
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
Kod:
p q Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
1.3 Definicja implikacji prostej =>
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji prostej =>:
Kod:
p q Y=p=>q
p => q =1
1 1 =1
stąd:
p =>~q =0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p ~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~> q =1
0 1 =1
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 1
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
Nie ma implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> !
1.4 Definicja implikacji odwrotnej ~>
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>:
Kod:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:
p q Y=p~>q
p ~> q =1
1 1 =1
LUB
p~~>~q =1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p =>~q =1
0 0 =1
Stąd:
~p => q =0
0 1 =0
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 2
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie.
Nie ma implikacji odwrotnej ~> bez implikacji prostej => !
1.5 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND
Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.
Dowód metodą zero-jedynkową:
Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.
1.6 Równanie ogólne implikacji
Na mocy definicji implikacji zachodzi:
p=>q # p~>q
bo to dwie różne tabele zero-jedynkowe
p=>q # p~>q
warunek wystarczający => między p i q # warunek konieczny ~> między p i q
Po obu stronach nierówności korzystamy z praw Kubusia i praw de’Morgana otrzymując równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)
Mamy tu dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
Przykład implikacji prostej =>:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Po zamianie p i q będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu przybierze postać:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+~P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 )
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, zauważmy że po obu stronach nierówności gwarancje są różne.
Lewa strona:
P8=>P2 = ~(~P8*P2)
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2)
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Prawa strona:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 )
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8 )
Gwarantowane liczby: 1,3,5 …
Prawda 3
Z powyższego równania ogólnego mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
czyli:
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawda 4
Zauważmy wyżej, że w implikacyjnych AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów, czyli ~(P8*~P2) to zupełnie co innego niż ~(~P2*P8 ). Dodatkowo z poziomu operatorów AND i OR nie mamy dostępu do fenomenalnych praw Kubusia. Z tego powodu operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są niezbędne w logice klasycznej.
Rodzaje implikacji:
1.
matematyka (p) - matematyka (q)
Przykład wyżej:
P8=>P2 i P2~>P8
Oczywiście na mocy definicji implikacji:
P8=>P2 # P2~>P8
2.
przyroda (p) - przyroda (q)
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym deszczu, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
po zamianie p i q mamy poprawną implikację prostą:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, zatem implikacja prosta prawdziwa
Oczywiście na mocy definicji:
CH~>P # P~>CH
W 1 i 2 sensowna będzie zarówno implikacja prosta p=>q jak i implikacja odwrotna p~>q powstała poprzez zamianę p i q.
Sensowne i prawdziwe nie oznacza równoważne, bowiem operator implikacji prostej => (warunek wystarczający) to fundamentalnie co innego niż operator implikacji odwrotnej ~> (warunek konieczny).
Na mocy definicji:
p=>q # p~>q
czyli:
warunek wystarczający między p i q # warunek konieczny między p i q
Fałszywość prawa kontrapozycji doskonale widać w implikacjach typu:
3.
człowiek (p) - człowiek (q)
czyli we wszelkich obietnicach i groźbach o których w dalszej części publikacji.
4.
przyroda martwa (p) - człowiek (q)
Przykład;
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>O =1
Obietnica, zatem implikacja prosta.
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla otworzenia parasolki, zatem jest to implikacja prosta => prawdziwa.
Prawo kontrapozycji:
P=>O = ~O=>~P
czyli:
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~O=>~P =0
Oczywisty nonsens !
„Nie otwarcie parasolki” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie padania”, zatem na mocy definicji implikacji prostej => jest to implikacja prosta fałszywa.
Prawo Kubusia:
~O=>~P = O~>P =0
Oczywiście poprawny aparat matematyczny z fałszu wygeneruje fałsz, nic innego nie może !
Jeśli otworzę parasolkę to może padać
O~>P =0
Otwarcie parasolki nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa
CND
1.7 Algorytm działania implikacji prostej
Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.
Algorytm działania implikacji prostej =>:
Kod:
Zdanie wypowiedziane:
p=>q
musi
Jeśli |----- q --- p=>q=1
|----- p -----|musi 1 1 =1
| |----- ~q --- p=>~q=0
| 1 0 =0
|
X => ---|
|
| może
|Jeśli |----- ~q --- ~p~>~q=1
|----- ~p -----|może 0 0 =1
|----- q --- ~p~~>q=1
0 1 =1
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.
Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
Analiza:
Jeśli zajdzie p
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej !
1 1 =1
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies
stąd:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - pudełko puste
1 0 =0
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli zajdzie ~p
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka …
0 0 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo kura …
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
0 1 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń…
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Prawda 5
~p~~>q =1
0 1 =1
Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że:
Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1
Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej.
1.8 Równoważność
Zacznijmy od …
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
P=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
czyli:
~p~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~>q =1
0 1 =1
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
W równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, nie ma tu śladu operatora implikacji odwrotnej ~> jak w definicji implikacji prostej wyżej.
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:
p q p<=>q
P=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p i q oraz między ~p i ~q. Nie ma tu śladu implikacji i prawa Kubusia widocznego w definicji implikacji wyżej.
Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej i równoważności.
Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne.
Dowód:
Definicje implikacji i równoważności wyżej
Twierdzenie:
Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p i q oraz między ~p i ~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Z powyższego wynika, że nauczyciel matematyki nie może zabraniać dziecku wypowiadania formy p=>q, ~p=>~q, bo niby jak wtedy udowodnić równoważność ?
Dowód równoważności na przykładzie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
R=>BR
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe
Oczywistość, zatem:
R=>BR =1
W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>.
Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~R=>~BR
Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych
Oczywistość, zatem:
~R=>~BR =1
Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe.
R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1
Prawda 6
Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej.
Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe
R=>BR
stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający.
Prawda 7
Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala !
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
CND
Prawda 8
Dzisiejsza definicja równoważności jest fałszywa.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
jeśli prawą stronę będziemy rozumieli jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p.
Dowód:
Dla implikacji w algebrze Boole’a mamy:
p=>q # q=>p
zatem jeśli p=>q = 1 to q=>p =0 albo odwrotnie, stąd:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
Niemożliwa jest implikacja prosta w dwie strony, zatem błędna jest interpretacja prawej strony równoważności jakoby chodziło tu o dwie implikacje proste p=>q i q=>p.
Dziewicza definicja równoważności na podstawie tabeli operatorowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające, to nie są implikacje !
W równoważności argumenty są przemienne i tu prawdziwe jest prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o iloczyn logiczny warunków wystarczających p=>q i q=>p, to nie są implikacje !
1.9 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q
Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest równoważnością to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający. Jeśli w stronę q=>p również stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, nie jest to zatem implikacja odwrotna.
Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność
Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje. Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !
Twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów.
~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający
Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1
Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>.
Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ?
Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ?
Definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
… bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p.
Po stronie ~p może być oczywiście:
~p=>~q - warunek wystarczający
czyli:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
wtedy całe zdanie jest równoważnością !
ALBO !
~p~>~q - warunek konieczny
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
~p~~>q=1
0 1 =1
tu całe zdanie jest implikacją !
Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a.
Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a.
p|=>q = ~p+q - implikacja
albo:
p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność
… ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu.
Prawo Misia:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności
Algebra Kubusia to nieznany dzisiejszym matematykom symboliczny język asemblera, czyli naturalna logika 5-cio letniego dziecka mająca 100% przełożenia na algebrę Boole’a czyli zera i jedynki.
W technice mikroprocesorowej człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka, natychmiast wynalazł symboliczny język asemblera izolując się od idiotycznych zer i jedynek czyli … skopiował działanie własnego mózgu. Język asemblera dla dowolnego mikroprocesora jest jeden (to algebra Boole’a), natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.
O co chodzi z tą nadmierną precyzją ?
Sięgnijmy do historii.
Pierwszy przyzwoity 8-bitowy mikroprocesor, Intel 8080 pojawił się w 1974 roku. Na jego podstawie powstał w 1978 roku mikroprocesor 16-bitowy Intel 8086, będący bazą dzisiejszych Pentium X. Ciekawostką jest fakt, że programy napisane w języku asemblera dla procesora I8086 (z 1978 roku !) będą pracowały poprawnie na najnowszych Pentiumach.
Tuż po pojawieniu się pierwszego przyzwoitego mikroprocesora (rok 1974), ludzie usiłowali opisać język asemblera w sposób absolutnie precyzyjny. Doszło do tego, że fachowa literatura pełna była niesamowitych krzaków ciężko zrozumiałych nawet dla fachowców.
Drobny przykład nadmiernej precyzji.
A - nazwa rejestru procesora
(A) - zawartość rejestru procesora o nazwie A (konkretna liczba)
PC - nazwa rejestru licznika rozkazów
(PC) - zawartość rejestru licznika rozkazów o nazwie PC (konkretna liczba)
((PC)) - zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie PC
(A) -> ((PC))
Operacja przesłania zawartości rejestru o nazwie A do komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru na nazwie PC (licznik rozkazów).
Ludzie szybko się opamiętali i w katalogach znajdziemy taki uproszczony zapis:
A -> (PC)
Przesłanie rejestru A do komórki pamięci wskazywanej przez PC
Mózg człowieka to nie komputer i nie ma tu znaczenia, że w tym przypadku symbol A jest dwuznaczny:
A - nazwa rejestru
A - zawartość rejestru o nazwie A
Poprawne znaczenie A wynika tu z kontekstu. To jest dokładnie tak samo jak w języku mówionym człowieka np. morze i może.