[Tronik]

Tak sie zastanawiam... Bo nie moge pojac... Co to znaczy potegowac?? Wiem ze gdy napisze 2^2 to jest to zapis odpowiedniego dzialania w postaci 2*2.

Ale co to znaczy (ze tak powiem fizycznie-zeby to jakos unaocznic)2^0.63? Czy to znaczy ze pomnozylem 0.63 wartosci 2 * 0.63 wartosci 2? A moze 2* (0.63*2)??

Wiem z ksiazek ze 2^0.63 to pierwiastek 100 stopnia z 2 do potegi 63, jednak mnie sie wydaje taki sens dziwny co najmniej.

O co chodzi?

A moze to idzie zrozumiec dopiero na bani??

[WuXeS]

Łatwiej będzie jeśli weźmiesz ułamek zwykły. Akurat 63/100 jest średnio piękny, ale weźmy dla przykładu 2/3.

2^(2/3) = 2^(2*1/3)

Czyli musisz podnieść do kwadratu i spierwiastkować sześciennie. Kolejność dowolna - tak czy siak dostajesz pierwiastek trzeciego stopnia z czterech.

No i na tej samej zasadzie jedziesz z 63/100: 2^(63/100) = 2^(63*1/100)

[Tgc]

Wiem z ksiazek ze 2^0.63 to pierwiastek 100 stopnia z 2 do potegi 63, jednak mnie sie wydaje taki sens dziwny co najmniej.

To akurat jest dosyc proste, bo 0.63 jest liczba wymierna. Wiec potegi z liczb wymiernych mozemy traktowac jako dzialania odwrotne wzgledem poteg z liczb calkowitych. Dzialanie odwrotne - czyli takie, ktore da w wyniku element naturalny danej operacji (czyli u nas 1).

x^n * x^1/n = x^(n*1/n) = x^1.

Wieksza zabawa zaczyna sie gdy trzeba zdefiniowac potegi z liczb rzeczywistych. Te jednak mozna zdefiniowac jako granice ciagow liczb wymiernych. I tak tez definiuje sie potege z liczb rzeczywistych, jako granica x^r = lim x^r_n , gdzie r_n to ciag liczb wymiernych, ktorych granica jest rowna r.

[Tronik]

przedstawie moj problem jeszcze inaczej: 2^2 to:

2[m] * 2[m] = 4[m^2] - pole Jasia Kowalczyka

2[m] * 2[m] * 2[m] = 8[m^3] - objetosc basenu Jasia Kowalczyka

W takim swietle co to znaczy 2^0.267 ??

[idiota]

Fajny tytuł...
Ktoś jest potegowany i ma z tym problem, czy jak???

[WuXeS]

W takim swietle co to znaczy 2^0.267 ??

Nic nie znaczy, bo musiałbyś operować na ułamkach wymiarów. To, że potęgi druga i trzecia (i kolejne całkowite) zgrabnie opisują fizyczne wymiary, nie znaczy, że pojęcie potęgi z owych wymiarów się wywodzi.

[Tgc]

Nic nie znaczy, bo musiałbyś operować na ułamkach wymiarów. To, że potęgi druga i trzecia (i kolejne całkowite) zgrabnie opisują fizyczne wymiary, nie znaczy, że pojęcie potęgi z owych wymiarów się wywodzi.

Z ciekawostek istnieja twory, ktore maja ulamkowy wymiar. Sa to fraktale. Oczywiscie istnieja rozne definicje wymiaru.

BTW ciekawe czy dalo by sie jakos powiazac pojecie niecalkowitych wymiarow z takimi potegami? Nie spotkalem sie z niczym takim.

[Stary Werter]

przedstawie moj problem jeszcze inaczej: 2^2 to:

2[m] * 2[m] = 4[m^2] - pole Jasia Kowalczyka

2[m] * 2[m] * 2[m] = 8[m^3] - objetosc basenu Jasia Kowalczyka

W takim swietle co to znaczy 2^0.267 ??

Taki masz problem. To sobie wyobraź, że istnieją potęgi o wykładniku urojonym. Liczba urojona jest to pierwiastek arytmetyczny z liczby ujemnej. Liczby urojone leżą na osi liczbowej prostopadłej do osi liczb rzeczywistych; te dwie osie razem wyznaczają płaszczyznę liczb zespolonych. Interpretację fizyczną pozostawiam jako ćwiczenie (wyobraźni). ^_^

[zefciu]

W takim swietle co to znaczy 2^0.267 ??

http://tiny.pl/h2xzf

[exodim]

Jeśli np. mamy podane pH roztworu = 0,63 (nie wiem czy to w ogóle możliwe, ale mniejsza o to), to żeby policzyć stężenie jonów wodorowych w tym roztworze należy podnieść do potęgi -0,63 liczbę 10. Wychodzi nam, że stężenie jonów wodorowych jest w przybliżeniu równe 0,24 mol/dm^3.
Oczywiście zastosowań funkcji logarytmicznych i wykładniczych są setki, a nawet tysiące (w przyrodzie jest bardzo wiele zjawisk opisywanych zależnością wykładniczą np. opis drgań obwodu RLC czy rozpadu promieniotwórczego).

A co to jest potęgowanie to już napisali koledzy wyżej.

[Tronik]

:-|

Ech, chyba wyrazilem sie zle.

Majac wyrazenia 5^2 to wyrazenie znaczy ze: 5 x 5 ( 2 razy przemnozylem 5 przez siebie)

Majac wyrazenie 5^0.76 czy to znaczy naprzyklad => (5*0.76)*0,76 ?? Co to znaczy ten wykladnik.

Ze sie w ten sposob "wyraze" uzywajac pwnego porownania:

Rozumiem co znaczy pomnozyc caly samochod razy caly samochod [samowchod ^2], ale nie rozumiem co znaczy pomnozyc 0.76 samochodu * 0.76 samochodu.

O ile to w ogole to dobrze zapisuje...

________________________________

a^x czyli "a" ix razy pomnozone przez "a"

[Fizyk]

Rozumiem co znaczy pomnozyc caly samochod razy caly samochod

To nieźle, ja np. nie rozumiem :p

Generalnie wszystko sprowadza się do idei uogólniania. Definiujemy coś na prostych przypadkach, znajdujemy jakieś zasady które tym rządzą i mówimy, że według tych zasad ma to działać na przypadkach bardziej skomplikowanych.

W przypadku potęg, definiujemy je dla liczb całkowitych, po czym zauważamy rzeczy typu a^(b+c) = a^b * a^c, a^(b*c) = (a^b)^c = (a^c)^b itp., a następnie mówimy, że tak ma to działać dla wszystkich liczb rzeczywistych (no, na początek wymiernych, ale potem tak jak pisał Tgc - można to uogólnić też na rzeczywiste, a nawet jeszcze bardziej).

[Tronik]

Czyli jak to policzyc metoda kartka i olowek? Jak to liczy komputer?

4^2 pisze jako 4*4 i podaje wynik 16
4^0.13 pisze jako co? Kalkulator podaje wynik 1.19.

Jak to napisac na kartce?

Chyba jestem niezrozumiany.... :-(

[Fizyk]

Metodą kartka i ołówek będzie ciężko, tak samo jak ciężko na kartce obliczyć na przykład sin(0.85), ale jak już musisz, to w przybliżeniu się da. Oto jak:

• Zapisujesz sobie [latex]a^b[/latex] jako [latex]\exp(b \log a)[/latex]
  
• O ile a jest mniejsze lub równe 2, coś z tego wyjdzie. Jak nie jest, znajdź największą całkowitą potęgę e (e = 2.7182818...) mniejszą od a i podziel a przez nią, a wykładnik dodaj potem do wyniku logarytmowania. Przykład:
  Liczymy [latex]10^{0.23}[/latex]
  [latex]e^2[/latex] jest mniejsze od 10, ale [latex]e^3[/latex] już nie.
  Dzielimy 10 przez e^2 (= ok. 7.389) -> nowe a = 1.3534
  Zapamiętujemy sobie 2 do dodania potem (bo e^2)
  
• Liczymy w przybliżeniu logarytm:
  [latex]\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...[/latex]
  (im więcej składników policzymy, tym dokładniejszy wynik)
  W naszym przykładzie [latex]\log(1 + 0.3534) = 0.3534 - \frac{0.3534^2}{2} + ... \approx 0.3025[/latex] (po zsumowaniu 6 składników)
  Do wyniku dodajemy zapamiętane wcześniej 2: 2.3025
  
• Mnożymy wynik przez b: 2.3025*0.23 = 0.529575
  
• Znajdujemy wynik dzięki [latex]\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...[/latex]
  W naszym przykładzie to daje ok. 1.6978 (po zsumowaniu 5 składników)
  

Czasochłonne i nieprzyjemne, ale wykonalne wyłącznie przy użyciu kartki i ołówka :p