Nonkonformista napisał(a): To z innej mańki:
Jeśli jest nieskończenie wiele nieskończoności, do w gruncie rzeczy, do której nieskończoności dążą ciągi (mogą dążyć do nieskończoności dodatniej, do nieskończoności ujemnej, a przecież może być i nieskończoność zmniejszająca się w nieskończoność)? Jak widać to kompletnie różne nieskończoności, a powiedzenie, że ciąg dąży do nieskończoności, nie precyzuje, do jakiej nieskończoności on dąży...
Osobie, która poznaje te rzeczy, trzeba odpowiedzieć, że do żadnej. To są różne konteksty. Taka jest ścisła odpowiedź.
Pojęcia zbieżności ciągu do nieskończoności i pojęcie nieskończonej mocy zbioru to są terminy, które mają ścisłe definicje. W obu przypadkach definiensy nie zawierają odniesień do nieskończoności. Zatem w obu przypadkach nie trzeba nic wiedzieć o nieskończonościach, żeby te pojęcia zrozumieć i gdy się je zrozumie widać, że postawione przez Ciebie pytanie dotyczy pojęć, które występują w różnych kontekstach.
1. Zbieżność ciągu.
Ciąg [latex]\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}[/latex] jest
zbieżny do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej [latex]r\in \mathbb{R}[/latex] wszystkie wyrazy tego ciągu poza skończenie wieloma są większe od [latex]r[/latex]. Jak widać zdefiniowaliśmy termin
zbieżny do nieskończoności bez odwoływania się do słowa "nieskończoność".
Np. ciąg [latex]a_n = n^2 - 1[/latex] dla [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] jest zbieżny do nieskończoności. Weźmy np. liczbę [latex]10^{100^{1000}}[/latex] wtedy wszystkie wyrazy tego ciągu poza skończenie wieloma są większe od tej liczby. Oczywiście jest bardzo wiele wyrazów tego ciągu mniejszych od tej (gigantycznej liczby) [latex]10^{100^{1000}}[/latex], ale wciąż jest ich tylko skończenie wiele. Tak samo będzie, gdy [latex]10^{100^{1000}}[/latex] zastąpimy dowolną inną liczbą rzeczywistą. Zatem ten ciąg jest zbieżny do nieskończoności.
2. Równoliczność zbiorów i moce
Dwa zbiory [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex] są
równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy na balu, na którym elementu zbioru [latex]X[/latex] to mężczyźni zaś elementu zbioru [latex]Y[/latex] to kobiety, da się tak zaaranżować tańce, że w tym samym momencie wszyscy będą tańczyć przy założeniu, że tańczą w parach kobieta-mężczyzna.
Czasem mówi się, że zbiory równoliczne to takie, które mają taką samą liczbę elementów. To jest intuicyjne rozumienie i nie jest złe, o ile się go nie nadużywa. W końcu jeśli na balu w tym samym momencie wszyscy mężczyźni tańczą i wszystkie kobiety tańczą i wszyscy tańczą w parach kobieta i mężczyzna, to stąd wiadomo, że kobiet i mężczyzn musi być na tym balu tyle samo.
Zbiór [latex]X[/latex] jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest równoliczny z żadnym zbiorem skończonym tzn. na żadnym balu, na którym elementy [latex]X[/latex] to mężczyźni zaś kobiety tworzą zbiór skończony, nie da się zaaranżować tańców tak, żeby w tym samym momencie wszyscy tańczyli w parach kobieta-mężczyzna.
Teraz stwierdzenie "jest nieskończenie wiele nieskończoności" to wprowadzające laików i początkujących w błąd określenie. Jednak, gdy się je wypowiada, to ma się na myśli następujące twierdzenie Cantora (właściwie wniosek z twierdzenia Cantora):
Twierdzenie. Dla każdego zbioru nieskończonego [latex]X[/latex] istnieje zbiór [latex]Y[/latex] taki, że [latex]X \subseteq Y[/latex] (czyli każdy element zbioru [latex]X[/latex] jest elementem zbioru [latex]Y[/latex]) oraz [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex] nie są równoliczne.
Intuicyjnie myślimy o tym twierdzeniu tak, że zbiór [latex]Y[/latex] ma więcej elementów niż zbiór [latex]X[/latex]. Czyli (znowu nieformalnie) dla każdego zbioru nieskończonego możemy znaleźć zbiór o większej liczbie elementów.
Witaj!
