Czyli tak jak mówiłem – Maciej1 będzie w kółko powtarzał, że Cantor coś twierdzi, ale nie zacytuje co też Cantor twierdzi. Dodatkowo Maciej1 nie potrafi wyjaśnić błędu Cantora bez używania jakichś mętnych, poetyckich sformułowań o „chwytaniu nieskończoności”.
Aby jakoś wybrnąć z tego błędnego koła (nie bardzo liczę, że się uda, ale może tak) napiszę teraz dowód przekątniowy. I niech Maciej1 wskaże błąd logiczny w tym, co ja napiszę:
Załóżmy, że istnieje pewna funkcja [latex]f(x)[/latex], której dziedziną jest ℕ, a przeciwdziedziną przedział zbioru ℝ (0, 1). Załóżmy, że funkcja ta jest bijekcją, tzn. jest funkcją różnowartościową, a jej funkcja odwrotna również jest różnowartościowa.
Rozważmy liczbę r, której n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym jest 0 jeśli n-ta cyfra f(n) jest 1 lub 1, jeśli n-ta cyfra f(n) jest 0.
Liczba r różni się przynajmniej jedną cyfrą od każdej cyfry przeciwdziedziny f(x). Nie należy zatem do tej przeciwdziedziny. Jednocześnie r należy do przedziału (0,1) zbioru liczb rzeczywistych.
Ergo – istnieje taka liczba, która należy do zbioru (0, 1), a nie jest przeciwdziedziną funkcji f(x). Ergo – f(x) nie jest bijekcją. Absurd. Ergo – funkcja, której istnienie założyliśmy nie może istnieć.
Oczywiście Maciej1 nie odniesie się do tego, co piszę, tylko będzie nadal bredził o „aktualizacjach” oraz „wirtualnych tabelach”, a także będzie pisał baśnie o tym, jak to zajmowanie się niewłaściwymi dziedzinami matematyki wywołuje dwubiegunówkę.
Aby jakoś wybrnąć z tego błędnego koła (nie bardzo liczę, że się uda, ale może tak) napiszę teraz dowód przekątniowy. I niech Maciej1 wskaże błąd logiczny w tym, co ja napiszę:
Załóżmy, że istnieje pewna funkcja [latex]f(x)[/latex], której dziedziną jest ℕ, a przeciwdziedziną przedział zbioru ℝ (0, 1). Załóżmy, że funkcja ta jest bijekcją, tzn. jest funkcją różnowartościową, a jej funkcja odwrotna również jest różnowartościowa.
Rozważmy liczbę r, której n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym jest 0 jeśli n-ta cyfra f(n) jest 1 lub 1, jeśli n-ta cyfra f(n) jest 0.
Liczba r różni się przynajmniej jedną cyfrą od każdej cyfry przeciwdziedziny f(x). Nie należy zatem do tej przeciwdziedziny. Jednocześnie r należy do przedziału (0,1) zbioru liczb rzeczywistych.
Ergo – istnieje taka liczba, która należy do zbioru (0, 1), a nie jest przeciwdziedziną funkcji f(x). Ergo – f(x) nie jest bijekcją. Absurd. Ergo – funkcja, której istnienie założyliśmy nie może istnieć.
Oczywiście Maciej1 nie odniesie się do tego, co piszę, tylko będzie nadal bredził o „aktualizacjach” oraz „wirtualnych tabelach”, a także będzie pisał baśnie o tym, jak to zajmowanie się niewłaściwymi dziedzinami matematyki wywołuje dwubiegunówkę.
Tress byłaby doskonałą filozofką. W istocie, Tress odkryła już, że filozofia nie jest tak wartościowa, jak jej się wcześniej wydawało. Coś, co większości wielkich filozofów zajmuje przynajmniej trzy dekady.
— Brandon Sanderson
— Brandon Sanderson