Ocena wątku:
  • 0 głosów - średnia: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Płaska/Wklęsła Ziemia?
No to zamodelowałem refrakcję atmosferyczną. Trzymajcie się, bo to będzie długi i napakowany matematyką post (coby każdy z odpowiednią wiedzą i zacięciem mógł sprawdzić wynik), a wynik przeszedł moje najśmielsze oczekiwania. Ale po kolei.

Zaczynamy od zasady Fermata. Zasada ta mówi, że śwatło porusza się pomiędzy punktami A i B po takiej drodze, żeby droga optyczna (równa całce ze współczynnika załamania) była jak najmniejsza:

[ninlatex]\int\limits_A^B n ds = \textrm{min}[/ninlatex]

Ponieważ zamierzam liczyć jak refrakcja powinna wyglądać na Ziemi sferycznej, zakładam układ współrzędnych biegunowych (wystarczy nam płaski przekrój przez środek) i że współczynnik załamania ośrodka zależy wyłącznie od współrzędnej r (czyli, de facto, od wysokości). Zasada Fermata wygląda więc tak:

[ninlatex]\int\limits_A^B n( r ) \sqrt{dr^2 + r^2 d\varphi^2} = \textrm{min}[/ninlatex]

Jeśli założymy, że naszą drogę można opisać równaniem [latex]r = r(\varphi)[/latex], to można przepisać:

[ninlatex]\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} n(r(\varphi)) \sqrt{r'^2 + r^2} d\varphi = \textrm{min}[/ninlatex]

gdzie [latex]r' = \frac{dr}{d\varphi}[/latex].

Takie zagadnienie wariacyjne można rozwiązać przy pomocy równania Eulera-Lagrange'a. W tym przypadku naszym "lagranżjanem" [latex]L(\varphi, r, r')[/latex] jest [latex]n( r ) \sqrt{r'^2 + r^2}[/latex].

Równanie Eulera-Lagrange'a przekształca się do postaci (pominę już pośrednie przekształcenia):

[ninlatex]r'' = r'^2 \frac{n'}{n} + r^2 \frac{n'}{n} + 2\frac{r'^2}{r} + r[/ninlatex]

gdzie [latex]n' = \frac{dn}{dr}[/latex]. Nawiasem mówiąc, gdy [latex]n' = 0[/latex] (czyli gdy ośrodek jest całkowicie jednorodny i nie ma prawa wystąpić refrakcja), to równanie upraszcza się do [latex]r'' = 2\frac{r'^2}{r} + r[/latex], które jest równaniem prostej we współrzędnych biegunowych (można sprawdzić, że [latex]r(\varphi) = \frac{r_0}{\cos (\varphi - \varphi_0)}[/latex] je spełnia) - zgodnie z oczekiwaniami.

To równanie można rozwiązać numerycznie, mając [latex]n( r )[/latex] (zależność współczynnika załamania od wysokości). Tę zależność zamodelujemy, jak już pisałem, przez przyjęcie, że różnica współczynnika załamania powietrza i jedynki jest proporcjonalna do gęstości powietrza, a gęstość powietrza maleje wykładniczo. Mamy więc:

[ninlatex]n( r ) - 1 = [n( r_0 ) - 1] e^{-\alpha(r-r_0)}[/ninlatex]

Za [latex]r_0[/latex] przyjmiemy promień Ziemi (poziom morza) i przyjmiemy, że współczynnik załamania na poziomie morza wynosi 1,000293. Współczynnik alfa można wyprowadzić z równania gazu doskonałego, przyjmując stałą temperaturę powietrza, wynosi on wtedy:

[ninlatex]\alpha = \frac{\mu g}{RT}[/ninlatex]

[latex]\mu[/latex] to masa molowa powietrza (0,0289644 kg/mol), g to przyspieszenie ziemskie (9,80665 m/s²), R to stała gazowa (8,3144598 N·m/(mol·K)), T to temperatura (przyjmiemy 273 K). Dla takich danych, alfa jest ok. 0,000125.

No to mamy już wszystko. Można liczyć.

Programik, który rozwiązuje równanie różniczkowe wyżej, napisałem w Ruście i wrzuciłem tutaj. Na początek, program robi coś takiego:
1. Startuje z wysokości 1 m nad poziomem morza równolegle do horyzontu i liczy propagację promienia do wysokości 200 km nad Ziemią. Przyjmuję, że na tej wysokości efekty atmosferyczne są już zaniedbywalne.
2. Definiuje dwie proste: przechodzącą przez obserwatora równolegle do horyzontu, i przechodzącą przez obserwatora oraz punkt na wysokości 200 km, do którego dotarł promień.
3. Znajduje kąt między tymi prostymi. Ten kąt jest dobrym przybliżeniem kąta refrakcji atmosferycznej.

Astronomowie pomierzyli refrakcję atmosferyczną dla takiego patrzenia równolegle do horyzontu na ok. 34 minuty łuku. Mój program, liczący tę refrakcję na podstawie czystej teorii optyki, wylicza 35 minut łuku. Śmiem twierdzić, że niezły wynik Oczko

Maciej1, matsuka: co Wy na to? Nadal twierdzicie, że to machanie rękami? Macie coś porównywalnego dla podparcia Waszych tez o tym, jak to refrakcja powoduje dokładnie przeciwne efekty, czy wciąż będzie ona Waszym zaklęciem?

Następny krok to wykorzystanie tego modelu do obliczenia widoczności Schneebergu. Wrzucę wyniki niebawem Oczko

Jest i wynik ze Schneebergu!

Przerobiłem programik, kod tutaj: klik

Ten kod działa tak:
1. Znajduje metodą wyszukiwania binarnego warunki początkowe (czyli zasadniczo początkowe r') takie, żeby promień wypuszczony z tarasu na Pradziadzie (1565 m n.p.m.) w odległości 73 km przeleciał na wysokości 680 m n.p.m.
2. Mając dane tego promienia, przelicza go do odległości 277 km i sprawdza, na jakiej wysokości n.p.m. promień jest wtedy.

Wynik:
Kod:
Found dh0: -106494.18707937002
Altitude 73km from Praded: 680.0000028089937
Altitude 277km from Praded: 1688.2939059370676
(dh0 to początkowe r')

Morał: gdy uwzględnimy ugięcie światła przez atmosferę, promień przelatujący tuż nad górką koło Protivanova trafi w Schneeberg... jakieś 350-400 m poniżej szczytu. A co widzimy na zdjęciu? Ok. 350-400 m góry. I znowu wszystko zgadza się z teorią.
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein


Wiadomości w tym wątku
Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez matsuka - 31.07.2017, 18:57
Ćwiartowanie paranoi. - przez Żarłak - 24.06.2018, 09:53
RE: Płaska Ziemia - mądrzejsza idea niż się wydaje - przez Fizyk - 06.10.2018, 18:41
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Ziemowit - 02.11.2018, 22:52
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 02.11.2018, 23:51
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Maciej1 - 03.11.2018, 11:13
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 03.11.2018, 12:54
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Maciej1 - 03.11.2018, 13:38
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Vanat - 03.11.2018, 19:50
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 03.11.2018, 13:58
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Maciej1 - 03.11.2018, 20:17
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 03.11.2018, 21:30
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Maciej1 - 03.11.2018, 21:47
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 03.11.2018, 22:51
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez matsuka - 03.11.2018, 23:11
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 03.11.2018, 23:28
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez matsuka - 03.11.2018, 23:58
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Joker - 04.11.2018, 00:22
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 04.11.2018, 00:24
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez matsuka - 04.11.2018, 00:55
RE: Płaska/Wklęsła Ziemia? - przez Fizyk - 04.11.2018, 01:25

Skocz do:


Użytkownicy przeglądający ten wątek: 1 gości