[Rowerex]

Na przykład wiemy że 0,(9)=1, co jest nieintuicyjne, gdyż wydawać by się mogło, że za każdym razem tak mało brakuje do jedynki, że nigdy jedynką nie będzie. A jednak wystarczy wziąć 1/3*3=1 i zamienić 3*(0,3)=1 cnd.

Z jakimkolwiek założonym z góry związkiem między 0,(3) i 0,(9) należałoby uważać, bo czy możemy sobie radośnie przyjąć że:

[latex]3*0,(3) = 0,(3*3)=0,(9)[/latex] na zasadzie: [latex]y*0,(x) = 0,(x*y)[/latex]...?

Chyba nie tędy droga, bo ktoś zaraz napisze, że:  [latex]2*0,(9)=0,(81)[/latex] albo nawet [latex]=8,(1)[/latex]...

---
Ekhmm... poprawka: 18, nie 81

[geranium]

Matematycznie można 2 podzielić przez 1/2, co de facto da nam operację mnożenia przez odwrotność. Czyli będzie to 4. Jak w rzeczywistości podzielić 2 jabłka przez połowę /i kim, czym ta połowa miałaby być?/, by otrzymać 4? Jak widać - taka operacja jest niemożliwa w rzeczywistości

Podzielić przez 1/2 to znaczy podzielic na pół. 1/2 oznacza  pól. Jeżeli dwa jabłka  podzielisz na pół  otrzymasz 4 połówki. 

[zefciu]

Chyba nie tędy droga, bo ktoś zaraz napisze, że:  [latex]2*0,(9)=0,(81)[/latex] albo nawet [latex]=8,(1)[/latex]...

Miałeś na myśli chyba 0,(18) Notacja dziesiętna tak nie działa niestety. Tzn. prawdą jest, że:

[latex]
2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} 18 \cdot 10^{-n}
[/latex]

Ale notacja 0,(18) nie oznacza tego co powyżej. Oznacza ona [latex]\sum_{n=1}^{\infty} 18 \cdot 10^{-2n}[/latex] Jeśli chcemy to co powyżej zapisać w formie dziesiętnej, to wyjdzie nam zapis „1,(9)” (z każdej 18 „przenosimy” jedynkę rząd wyżej) który jest tożsamy zapisowi „2”

[Rowerex]

Miałeś na myśli chyba 0,(18) Notacja dziesiętna tak nie działa niestety. Tzn. prawdą jest, że:

[latex]
2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} 18 \cdot 10^{-n}
[/latex]

Ale notacja 0,(18) nie oznacza tego co powyżej. Oznacza ona [latex]\sum_{n=1}^{\infty} 18 \cdot 10^{-2n}[/latex] Jeśli chcemy to co powyżej zapisać w formie dziesiętnej, to wyjdzie nam zapis „1,(9)” (z każdej 18 „przenosimy” jedynkę rząd wyżej) który jest tożsamy zapisowi „2”

18, 18... - się wytłumaczę, że w pierwotnym zamyśle było 9*0,(9), ale po paru zmianach koncepcji nie przestawiłem cyfr...

Natomiast działania na ułamkach zapisanych w notacji z okresem np.: 0,(2445) powinno się wykonywać po zamianie ich na ułamki zwykłe - i to dlatego typowe zadania polegają na zamianie wspomnianego 0,(2445) na ułamek zwykły, choć jednocześnie te zadania nie mówią po co się to robi - może lepszymi zadaniami byłyby takie w stylu: oblicz: 0,(18)*0,(2)+0,(3)

---

Matematycznie można 2 podzielić przez 1/2, co de facto da nam operację mnożenia przez odwrotność. Czyli będzie to 4. Jak w rzeczywistości podzielić 2 jabłka przez połowę /i kim, czym ta połowa miałaby być?/, by otrzymać 4? Jak widać - taka operacja jest niemożliwa w rzeczywistości

Podzielić przez 1/2 to znaczy podzielic na pół. 1/2 oznacza  pól. Jeżeli dwa jabłka  podzielisz na pół  otrzymasz 4 połówki. 

[latex]\frac{5\,chlebów\,+\,2\,ryby}{n}\;=5000\,nakarmionych\,mężczyzn\,(^*)+12\,koszy\,ułomków[/latex]

(*) nie licząc kobiet i dzieci... Da się? Da! A jesteśmy jeszcze daleko od budżetu państwa!

[zefciu]

18, 18... - się wytłumaczę, że w pierwotnym zamyśle było 9*0,(9), ale po paru zmianach koncepcji nie przestawiłem cyfr...

Wtedy wychodzi nam 8,1 + 0,81 + 0,081… etc. Czyli po zsumowaniu 8,(9), czyli 9. Też się zgadza.

Natomiast działania na ułamkach zapisanych w notacji z okresem np.: 0,(2445) powinno się wykonywać po zamianie ich na ułamki zwykłe

Też tak można. Tym niemniej „pisemnie” też się da, o ile pamiętamy o przenoszeniu wartości między rzędami.

[Rowerex]

Taki "drobiazg": dodając pisemnie "w słupku" ułamki z różną ilością cyfr w okresie należy wiersze odpowiednio napisać, bo inaczej nie zauważy się okresu - np. 0,(234) + 0,2(73) = ?