Wątek zainspirowany dyskusją z Pilastrem, jego postem tutaj: https://ateista.pl/showthread.php?tid=14...#pid708366 i pytaniami, które ten post wzbudził.
Jak już wspomniałem w powyższym wątku, model jest zbyt uproszczony, bowiem zakłada 1) warstwowość atmosfery, 2) że każda warstwa jest ciałem doskonale czarnym. W szczególności, kompletnie pomija to, co czyni gazy cieplarniane gazami cieplarnianymi, czyli wysoką zdolność absorpcyjną w pasmach promieniowania na nie padającego, ale niską emisyjną w pasmach, w których miałoby maksimum emisji ciało doskonale czarne o ich temperaturze. Skomplikujemy więc nieco model Pilastra, żeby te efekty móc uwzględnić.
(Tu mały spoiler: ten post nie zawiera konkretnego wyniku, bo model będzie zbyt skomplikowany. Jakikolwiek wynik trzeba będzie otrzymać numerycznie. Zamierzam spróbować zaprogramować symulację numeryczną, jak ustalimy, jakie właściwie dane chcemy z tej symulacji wyciągnąć.)
No to zaczynamy.
Po pierwsze, zamodelujemy atmosferę ciągłą. Zamiast skończonej grubości warstw numerowanych liczbami naturalnymi, wielkości w atmosferze uznamy za zależne od wysokości [latex]z[/latex]. Mamy więc:
To tyle. Teraz zależności.
Rozważmy warstwę gazu na wysokości [latex]z[/latex] grubości [latex]dz[/latex]. Taka warstwa gazu będzie miała zdolność absorpcyjną (która, co istotne, jest równa zdolności emisyjnej) [latex]A(z, \lambda) = \alpha(z, \lambda) dz[/latex].
Równowaga termiczna tej warstwy gazu oznacza, że pochłania ona tyle samo, co emituje. Stąd:
[ninlatex]\int\limits_\lambda A(z, \lambda) \left[ I_{-}(z, \lambda) + I_{+}(z, \lambda) \right] d\lambda = \int\limits_\lambda 2A(z, \lambda) P(T(z), \lambda) d\lambda[/ninlatex]
gdzie [latex]P(T, \lambda) = \frac{2hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1}[/latex] jest rozkładem Plancka (rozkładem natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze T).
Oprócz tego mamy jeszcze:
[ninlatex]I_{-}(z-dz, \lambda) = I_{-}(z, \lambda) \left[ 1 - A(z, \lambda) \right] + A(z, \lambda) P(T(z), \lambda)[/ninlatex]
[ninlatex]I_{+}(z+dz, \lambda) = I_{+}(z, \lambda) \left[ 1 - A(z, \lambda) \right] + A(z, \lambda) P(T(z), \lambda)[/ninlatex]
(promieniowanie podróżujące w górę i w dół jest mnożone przez współczynnik przezroczystości gazu i składa się z promieniowaniem emitowanym przez gaz).
Są jeszcze warunki brzegowe. Po pierwsze, promieniowanie docierające do szczytu atmosfery to promieniowanie od Słońca:
[ninlatex]I_{-}(z_{max}, \lambda) = F(\lambda)[/ninlatex]
Po drugie, z planety ucieka tyle promieniowania, ile na nią pada (warunek równowagi):
[ninlatex]\int\limits_\lambda I_{+}(z_{max}, \lambda) d\lambda = \int\limits_\lambda F(\lambda) d\lambda[/ninlatex]
Po trzecie, promieniowanie w górę przy powierzchni planety jest równe promieniowaniu emitowanemu przez powierzchnię (o temperaturze [latex]T_p[/latex], zakładamy ciało doskonale szare o albedo a) plus odbitemu:
[ninlatex]I_{+}(0, \lambda) = (1-a) P(T_{p}, \lambda) + a I_{-}(0, \lambda)[/ninlatex]
Po czwarte, powierzchnia emituje tyle, co pochłania:
[ninlatex]\int\limits_\lambda (1-a) I_{-}(0, \lambda) d\lambda = \int\limits_\lambda (1-a) P(T_{p}, \lambda) d\lambda[/ninlatex]
Uff.
Dobra, zestaw równań jest, pytanie, co da się z tego wyciągnąć. Innej opcji jak symulacja numeryczna nie widzę, przy czym to wcale nie będzie łatwe zadanie, bo jest od groma zmiennych zależących od siebie nawzajem! Szczerze mówiąc, to jak na to patrzę, to mam wrażenie, że to materiał na dłuższe badania
Wniosków na razie brak. Przedstawiam to głównie pod ocenę, zanim spróbuję to jakoś dalej obrabiać. Jestem zwłaszcza ciekaw opinii Pilastra.
W każdym razie, widać chyba przynajmniej, że w miarę porządny opis efektu cieplarnianego to nie taka banalna sprawa.
EDIT: Jak się temu przyglądam, to sporo da się tu uprościć dzięki liniowości równań. Na wysokości [latex]z[/latex] można wyróżnić następujące źródła pochłanianego promieniowania:
I to powinno być tyle. To można explicite wypisać (zakładając, że znamy rozkład temperatury i ciśnienia w atmosferze...) i przyrównać do natężenia emisji promieniowania... Ale nie wiem, czy to dużo daje. Jest to jakaś pomoc w każdym razie.
EDIT 2: Mam nawet pomysł, jak to rozwiązać numerycznie:
To teraz zakodować coś takiego...
Ktoś wie, gdzie mogę znaleźć dane na temat zależności współczynnika absorpcji od długości fali dla różnych gazów wchodzących w skład atmosfery Ziemi/Marsa/Wenus?
Jak już wspomniałem w powyższym wątku, model jest zbyt uproszczony, bowiem zakłada 1) warstwowość atmosfery, 2) że każda warstwa jest ciałem doskonale czarnym. W szczególności, kompletnie pomija to, co czyni gazy cieplarniane gazami cieplarnianymi, czyli wysoką zdolność absorpcyjną w pasmach promieniowania na nie padającego, ale niską emisyjną w pasmach, w których miałoby maksimum emisji ciało doskonale czarne o ich temperaturze. Skomplikujemy więc nieco model Pilastra, żeby te efekty móc uwzględnić.
(Tu mały spoiler: ten post nie zawiera konkretnego wyniku, bo model będzie zbyt skomplikowany. Jakikolwiek wynik trzeba będzie otrzymać numerycznie. Zamierzam spróbować zaprogramować symulację numeryczną, jak ustalimy, jakie właściwie dane chcemy z tej symulacji wyciągnąć.)
No to zaczynamy.
Po pierwsze, zamodelujemy atmosferę ciągłą. Zamiast skończonej grubości warstw numerowanych liczbami naturalnymi, wielkości w atmosferze uznamy za zależne od wysokości [latex]z[/latex]. Mamy więc:
- Własności gazu, takie jak ciśnienie czy temperatura: [latex]p(z)[/latex], [latex]T(z)[/latex]
- Współczynnik pochłaniania promieniowania przez gaz: [latex]\alpha(z, \lambda) = \alpha(p(z), T(z), \lambda)[/latex] (zależy też od długości fali - kluczowe dla gazów cieplarnianych)
- Natężenie promieniowania skierowanego w dół [latex]I_{-}(z, \lambda)[/latex] oraz w górę [latex]I_{+}(z, \lambda)[/latex]
- Natężenie promieniowania słonecznego docierającego do planety [latex]F(\lambda)[/latex]
To tyle. Teraz zależności.
Rozważmy warstwę gazu na wysokości [latex]z[/latex] grubości [latex]dz[/latex]. Taka warstwa gazu będzie miała zdolność absorpcyjną (która, co istotne, jest równa zdolności emisyjnej) [latex]A(z, \lambda) = \alpha(z, \lambda) dz[/latex].
Równowaga termiczna tej warstwy gazu oznacza, że pochłania ona tyle samo, co emituje. Stąd:
[ninlatex]\int\limits_\lambda A(z, \lambda) \left[ I_{-}(z, \lambda) + I_{+}(z, \lambda) \right] d\lambda = \int\limits_\lambda 2A(z, \lambda) P(T(z), \lambda) d\lambda[/ninlatex]
gdzie [latex]P(T, \lambda) = \frac{2hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda kT} - 1}[/latex] jest rozkładem Plancka (rozkładem natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze T).
Oprócz tego mamy jeszcze:
[ninlatex]I_{-}(z-dz, \lambda) = I_{-}(z, \lambda) \left[ 1 - A(z, \lambda) \right] + A(z, \lambda) P(T(z), \lambda)[/ninlatex]
[ninlatex]I_{+}(z+dz, \lambda) = I_{+}(z, \lambda) \left[ 1 - A(z, \lambda) \right] + A(z, \lambda) P(T(z), \lambda)[/ninlatex]
(promieniowanie podróżujące w górę i w dół jest mnożone przez współczynnik przezroczystości gazu i składa się z promieniowaniem emitowanym przez gaz).
Są jeszcze warunki brzegowe. Po pierwsze, promieniowanie docierające do szczytu atmosfery to promieniowanie od Słońca:
[ninlatex]I_{-}(z_{max}, \lambda) = F(\lambda)[/ninlatex]
Po drugie, z planety ucieka tyle promieniowania, ile na nią pada (warunek równowagi):
[ninlatex]\int\limits_\lambda I_{+}(z_{max}, \lambda) d\lambda = \int\limits_\lambda F(\lambda) d\lambda[/ninlatex]
Po trzecie, promieniowanie w górę przy powierzchni planety jest równe promieniowaniu emitowanemu przez powierzchnię (o temperaturze [latex]T_p[/latex], zakładamy ciało doskonale szare o albedo a) plus odbitemu:
[ninlatex]I_{+}(0, \lambda) = (1-a) P(T_{p}, \lambda) + a I_{-}(0, \lambda)[/ninlatex]
Po czwarte, powierzchnia emituje tyle, co pochłania:
[ninlatex]\int\limits_\lambda (1-a) I_{-}(0, \lambda) d\lambda = \int\limits_\lambda (1-a) P(T_{p}, \lambda) d\lambda[/ninlatex]
Uff.
Dobra, zestaw równań jest, pytanie, co da się z tego wyciągnąć. Innej opcji jak symulacja numeryczna nie widzę, przy czym to wcale nie będzie łatwe zadanie, bo jest od groma zmiennych zależących od siebie nawzajem! Szczerze mówiąc, to jak na to patrzę, to mam wrażenie, że to materiał na dłuższe badania
Wniosków na razie brak. Przedstawiam to głównie pod ocenę, zanim spróbuję to jakoś dalej obrabiać. Jestem zwłaszcza ciekaw opinii Pilastra.
W każdym razie, widać chyba przynajmniej, że w miarę porządny opis efektu cieplarnianego to nie taka banalna sprawa.
EDIT: Jak się temu przyglądam, to sporo da się tu uprościć dzięki liniowości równań. Na wysokości [latex]z[/latex] można wyróżnić następujące źródła pochłanianego promieniowania:
- Promieniowanie słoneczne, częściowo pochłonięte przez warstwę między [latex]z_{max}[/latex] a [latex]z[/latex]
- Promieniowanie słoneczne odbite od powierzchni (promieniowanie słoneczne razy współczynnik absorpcji atmosfery, razy albedo, razy współczynnik absorpcji warstwy między [latex]0[/latex] a [latex]z[/latex])
- Promieniowanie od planety, częściowo pochłonięte przez warstwę między [latex]0[/latex] a [latex]z[/latex]
- Promieniowanie od reszty atmosfery: czyli całka po wkładach od poszczególnych warstw grubości [latex]dz[/latex], po uwzględnieniu pochłaniania przez warstwę między warstwą emitującą a warstwą nas interesującą
- Promieniowanie od reszty atmosfery po odbiciu od powierzchni: czyli znowu całka, tylko pochłanianie inaczej liczone
I to powinno być tyle. To można explicite wypisać (zakładając, że znamy rozkład temperatury i ciśnienia w atmosferze...) i przyrównać do natężenia emisji promieniowania... Ale nie wiem, czy to dużo daje. Jest to jakaś pomoc w każdym razie.
EDIT 2: Mam nawet pomysł, jak to rozwiązać numerycznie:
- Założyć na początek jakiś rozkład temperatury w zależności od wysokości. To, razem z ciśnieniem przy powierzchni, determinuje rozkład ciśnienia. Temperatura i ciśnienie dają się przeliczyć na gęstość, co powinno pozwolić też na obliczenie współczynnika absorpcji na różnych wysokościach.
- Korzystając z założonego rozkładu temperatury, wyliczyć poszczególne składniki promieniowania docierającego do różnych wysokości.
- Mając te składniki, znaleźć bilans termiczny na poszczególnych wysokościach (czy gaz na danej wysokości więcej emituje, czy pochłania).
- Zmodyfikować temperatury na poszczególnych wysokościach. Jak więcej emituje, to obniżyć, jak więcej pochłania, to podnieść.
- Wrócić do punktu 2 i powtarzać, aż znajdzie się profil dający równowagę.
To teraz zakodować coś takiego...
Ktoś wie, gdzie mogę znaleźć dane na temat zależności współczynnika absorpcji od długości fali dla różnych gazów wchodzących w skład atmosfery Ziemi/Marsa/Wenus?
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein