Witaj!
Zacząłem offtopa o krzywiźnie w wątku o kształcie Ziemi i zostałem poproszony o więcej wyjaśnień, więc spróbuję ich udzielić tutaj.
Napisałem tam coś takiego: na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu r = 10 000 km ma obwód 40 000 km, czyli 4r, zamiast 2πr.
O co chodzi?
Wyobraźmy sobie, że stoimy na biegunie. Wyruszamy w dowolnym kierunku i podróżujemy 10 000 km. Gdzie wylądujemy? W jakimś punkcie na równiku.
![[Obrazek: I7BV5q9.png]](https://i.imgur.com/I7BV5q9.png)
Wyruszając z bieguna w różnych kierunkach, zawsze podróżując 10 000 km trafimy gdzieś na równik. Oznacza to, że na powierzchni Ziemi równik jest okręgiem o promieniu 10 000 km.
Istotne: na powierzchni Ziemi! zapominamy tutaj, że ta powierzchnia jest tak naprawdę zanurzona w jakiejś przestrzeni 3-wymiarowej. W przestrzeni 3-wymiarowej równik ma promień ok. 6 378 km, ale ten promień jest poza powierzchnią Ziemi. Kiedy analizujemy geometrię wyłącznie samej powierzchni, środek równika jako okręgu jest na jednym z biegunów (którymkolwiek), a promień wynosi 10 000 km.
Jaki jest z tego morał? Na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu 10 000 km ma obwód 4r.
A jak wyglądałby okrąg o promieniu 20 000 km? Stajemy znowu na biegunie i wyruszamy w dowolnym kierunku, po czym podróżujemy 20 000 km. Gdzie wylądujemy? Na drugim biegunie. I tak dla każdego kierunku początkowego. Co to oznacza? Ano, że okrąg o promieniu 20 000 km to... punkt. Czyli jego obwód wynosi 0.
Czy da się to jakoś opisać równaniami? A i owszem
W tym celu wprowadza się pojęcie metryki. Metryka to takie coś, co pozwala liczyć odległości w danej przestrzeni. Jest w pewnym sensie uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.
Żeby zobaczyć jak wygląda metryka powierzchni Ziemi, musimy najpierw wprowadzić układ współrzędnych. Zastosujemy standardowe współrzędne sferyczne [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] - [latex]\varphi[/latex] ma zakres 0-2π i odpowiada długości geograficznej (tylko liczonej w radianach i bez podziału na półkule), a [latex]\vartheta[/latex] ma zakres 0-π, gdzie 0 odpowiada biegunowi północnemu, π - południowemu, a π/2 - punktom na równiku.
Załóżmy więc, że znajdujemy się w punkcie [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] na powierzchni Ziemi i przesuwamy się w szerokości geograficznej o nieskończenie małe [latex]d\vartheta[/latex], a w długości geograficznej o [latex]d\varphi[/latex]. O jaką odległość przesunęliśmy się sumarycznie?
Nie będę tego wyprowadzał, ale odpowiedzią okazuje się być [latex]ds^2 = R^2(d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d\varphi^2)[/latex], gdzie R jest promieniem Ziemi jako kuli - albo, zapominając że mamy do czynienia z kulą zanurzoną w przestrzeni 3D - promieniem krzywizny powierzchni.
Żeby znaleźć długość jakiejś krzywej na powierzchni Ziemi, trzeba odcałkować wzdłuż krzywej [latex]ds[/latex] dane wzorem wyżej.
Dla przykładu: wyobraźmy sobie, że startujemy z bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]) i poruszając się wzdłuż południka ([latex]\varphi=\textrm{const}[/latex], albo [latex]d\varphi = 0[/latex]) docieramy do równoleżnika [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex]. Jaką odległość pokonaliśmy?
Jak już napisałem, trzeba scałkować metrykę. Ponieważ [latex]d\varphi = 0[/latex], otrzymujemy wzdłuż tej krzywej [latex]ds^2 = R^2d\vartheta^2[/latex], czyli [latex]ds = Rd\vartheta[/latex]:
[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{\vartheta_0} Rd\vartheta = R\vartheta_0[/ninlatex]
Nic zaskakującego - trzeba przemnożyć promień Ziemi (promień krzywizny) przez zakreślony kąt.
To teraz zauważmy, że wszystkie punkty o [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] są w tej samej odległości [latex]R\vartheta_0[/latex] od bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]). Tworzą więc okrąg o promieniu [latex]r = R\vartheta_0[/latex]. Obliczmy obwód tego okręgu.
Punkty na tym okręgu mają stałe [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] i zmienne [latex]\varphi[/latex] (od 0 do 2π), tym razem [latex]d\vartheta = 0[/latex] i metryka sprowadza się do [latex]ds^2 = R^2\sin^2\vartheta_0 d\varphi^2[/latex], albo [latex]ds = R\sin\vartheta_0 d\varphi[/latex].
Całkujemy długość krzywej:
[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{2\pi} R\sin\vartheta_0 d\varphi = 2\pi R\sin\vartheta_0[/ninlatex]
Ale to jest dopiero zależność obwodu od abstrakcyjnej współrzędnej [latex]\vartheta_0[/latex] - a chcemy znaleźć zależność od promienia. Na szczęście mamy [latex]r = R\vartheta_0[/latex], czyli [latex]\vartheta_0 = \frac{r}{R}[/latex], stąd:
[ninlatex]l = 2\pi R\sin\frac{r}{R}[/ninlatex]
No i to tyle. Kiedy podstawimy dane dla naszego okręgu r = 10 000 km na Ziemi (promień krzywizny R = 6 378 km), otrzymamy:
[ninlatex]l = 2\pi \times 6378 \times \sin \frac{10000}{6378} = 2\pi \times 6378 \times \sin 1,5679 = 2\pi \times 6378 \times 1 = 40074 \mathrm{km}[/ninlatex]
I mamy wynik, o którym mówiłem.
Ciekawostka: powierzchnia Ziemi - sfera - jest powierzchnią o dodatniej krzywiźnie. Są też powierzchnie o ujemnej krzywiźnie. Na takiej powierzchni jedyną różnicą byłoby, że tam, gdzie w przypadku Ziemi były sinusy, pojawiłyby się sinusy hiperboliczne. Czyli np. obwód okręgu wynosiłby:
[ninlatex]l = 2\pi R \sinh \frac{r}{R}[/ninlatex]
Po podstawieniu tych samych danych (r = 10 000 km, R = 6 378 km) dostalibyśmy l = 2πR sinh(1,5679) = 91930 km, czyli ponad 9r. Na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie obwód jest większy niż 2πr
Wyszedł z tego krótki kurs podstaw geometrii różniczkowej
Napisałem tam coś takiego: na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu r = 10 000 km ma obwód 40 000 km, czyli 4r, zamiast 2πr.
O co chodzi?
Wyobraźmy sobie, że stoimy na biegunie. Wyruszamy w dowolnym kierunku i podróżujemy 10 000 km. Gdzie wylądujemy? W jakimś punkcie na równiku.
Wyruszając z bieguna w różnych kierunkach, zawsze podróżując 10 000 km trafimy gdzieś na równik. Oznacza to, że na powierzchni Ziemi równik jest okręgiem o promieniu 10 000 km.
Istotne: na powierzchni Ziemi! zapominamy tutaj, że ta powierzchnia jest tak naprawdę zanurzona w jakiejś przestrzeni 3-wymiarowej. W przestrzeni 3-wymiarowej równik ma promień ok. 6 378 km, ale ten promień jest poza powierzchnią Ziemi. Kiedy analizujemy geometrię wyłącznie samej powierzchni, środek równika jako okręgu jest na jednym z biegunów (którymkolwiek), a promień wynosi 10 000 km.
Jaki jest z tego morał? Na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu 10 000 km ma obwód 4r.
A jak wyglądałby okrąg o promieniu 20 000 km? Stajemy znowu na biegunie i wyruszamy w dowolnym kierunku, po czym podróżujemy 20 000 km. Gdzie wylądujemy? Na drugim biegunie. I tak dla każdego kierunku początkowego. Co to oznacza? Ano, że okrąg o promieniu 20 000 km to... punkt. Czyli jego obwód wynosi 0.
Czy da się to jakoś opisać równaniami? A i owszem
W tym celu wprowadza się pojęcie metryki. Metryka to takie coś, co pozwala liczyć odległości w danej przestrzeni. Jest w pewnym sensie uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.
Żeby zobaczyć jak wygląda metryka powierzchni Ziemi, musimy najpierw wprowadzić układ współrzędnych. Zastosujemy standardowe współrzędne sferyczne [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] - [latex]\varphi[/latex] ma zakres 0-2π i odpowiada długości geograficznej (tylko liczonej w radianach i bez podziału na półkule), a [latex]\vartheta[/latex] ma zakres 0-π, gdzie 0 odpowiada biegunowi północnemu, π - południowemu, a π/2 - punktom na równiku.
Załóżmy więc, że znajdujemy się w punkcie [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] na powierzchni Ziemi i przesuwamy się w szerokości geograficznej o nieskończenie małe [latex]d\vartheta[/latex], a w długości geograficznej o [latex]d\varphi[/latex]. O jaką odległość przesunęliśmy się sumarycznie?
Nie będę tego wyprowadzał, ale odpowiedzią okazuje się być [latex]ds^2 = R^2(d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d\varphi^2)[/latex], gdzie R jest promieniem Ziemi jako kuli - albo, zapominając że mamy do czynienia z kulą zanurzoną w przestrzeni 3D - promieniem krzywizny powierzchni.
Żeby znaleźć długość jakiejś krzywej na powierzchni Ziemi, trzeba odcałkować wzdłuż krzywej [latex]ds[/latex] dane wzorem wyżej.
Dla przykładu: wyobraźmy sobie, że startujemy z bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]) i poruszając się wzdłuż południka ([latex]\varphi=\textrm{const}[/latex], albo [latex]d\varphi = 0[/latex]) docieramy do równoleżnika [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex]. Jaką odległość pokonaliśmy?
Jak już napisałem, trzeba scałkować metrykę. Ponieważ [latex]d\varphi = 0[/latex], otrzymujemy wzdłuż tej krzywej [latex]ds^2 = R^2d\vartheta^2[/latex], czyli [latex]ds = Rd\vartheta[/latex]:
[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{\vartheta_0} Rd\vartheta = R\vartheta_0[/ninlatex]
Nic zaskakującego - trzeba przemnożyć promień Ziemi (promień krzywizny) przez zakreślony kąt.
To teraz zauważmy, że wszystkie punkty o [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] są w tej samej odległości [latex]R\vartheta_0[/latex] od bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]). Tworzą więc okrąg o promieniu [latex]r = R\vartheta_0[/latex]. Obliczmy obwód tego okręgu.
Punkty na tym okręgu mają stałe [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] i zmienne [latex]\varphi[/latex] (od 0 do 2π), tym razem [latex]d\vartheta = 0[/latex] i metryka sprowadza się do [latex]ds^2 = R^2\sin^2\vartheta_0 d\varphi^2[/latex], albo [latex]ds = R\sin\vartheta_0 d\varphi[/latex].
Całkujemy długość krzywej:
[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{2\pi} R\sin\vartheta_0 d\varphi = 2\pi R\sin\vartheta_0[/ninlatex]
Ale to jest dopiero zależność obwodu od abstrakcyjnej współrzędnej [latex]\vartheta_0[/latex] - a chcemy znaleźć zależność od promienia. Na szczęście mamy [latex]r = R\vartheta_0[/latex], czyli [latex]\vartheta_0 = \frac{r}{R}[/latex], stąd:
[ninlatex]l = 2\pi R\sin\frac{r}{R}[/ninlatex]
No i to tyle. Kiedy podstawimy dane dla naszego okręgu r = 10 000 km na Ziemi (promień krzywizny R = 6 378 km), otrzymamy:
[ninlatex]l = 2\pi \times 6378 \times \sin \frac{10000}{6378} = 2\pi \times 6378 \times \sin 1,5679 = 2\pi \times 6378 \times 1 = 40074 \mathrm{km}[/ninlatex]
I mamy wynik, o którym mówiłem.
Ciekawostka: powierzchnia Ziemi - sfera - jest powierzchnią o dodatniej krzywiźnie. Są też powierzchnie o ujemnej krzywiźnie. Na takiej powierzchni jedyną różnicą byłoby, że tam, gdzie w przypadku Ziemi były sinusy, pojawiłyby się sinusy hiperboliczne. Czyli np. obwód okręgu wynosiłby:
[ninlatex]l = 2\pi R \sinh \frac{r}{R}[/ninlatex]
Po podstawieniu tych samych danych (r = 10 000 km, R = 6 378 km) dostalibyśmy l = 2πR sinh(1,5679) = 91930 km, czyli ponad 9r. Na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie obwód jest większy niż 2πr
Wyszedł z tego krótki kurs podstaw geometrii różniczkowej
![[Obrazek: style3,Fizyk.png]](http://www.sloganizer.net/en/style3,Fizyk.png)
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
