Ocena wątku:
  • 0 głosów - średnia: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Krzywizna powierzchni
#1
Zacząłem offtopa o krzywiźnie w wątku o kształcie Ziemi i zostałem poproszony o więcej wyjaśnień, więc spróbuję ich udzielić tutaj.

Napisałem tam coś takiego: na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu r = 10 000 km ma obwód 40 000 km, czyli 4r, zamiast 2πr.

O co chodzi?

Wyobraźmy sobie, że stoimy na biegunie. Wyruszamy w dowolnym kierunku i podróżujemy 10 000 km. Gdzie wylądujemy? W jakimś punkcie na równiku.

[Obrazek: I7BV5q9.png]

Wyruszając z bieguna w różnych kierunkach, zawsze podróżując 10 000 km trafimy gdzieś na równik. Oznacza to, że na powierzchni Ziemi równik jest okręgiem o promieniu 10 000 km.

Istotne: na powierzchni Ziemi! zapominamy tutaj, że ta powierzchnia jest tak naprawdę zanurzona w jakiejś przestrzeni 3-wymiarowej. W przestrzeni 3-wymiarowej równik ma promień ok. 6 378 km, ale ten promień jest poza powierzchnią Ziemi. Kiedy analizujemy geometrię wyłącznie samej powierzchni, środek równika jako okręgu jest na jednym z biegunów (którymkolwiek), a promień wynosi 10 000 km.

Jaki jest z tego morał? Na powierzchni Ziemi okrąg o promieniu 10 000 km ma obwód 4r.

A jak wyglądałby okrąg o promieniu 20 000 km? Stajemy znowu na biegunie i wyruszamy w dowolnym kierunku, po czym podróżujemy 20 000 km. Gdzie wylądujemy? Na drugim biegunie. I tak dla każdego kierunku początkowego. Co to oznacza? Ano, że okrąg o promieniu 20 000 km to... punkt. Czyli jego obwód wynosi 0.

Czy da się to jakoś opisać równaniami? A i owszem Oczko

W tym celu wprowadza się pojęcie metryki. Metryka to takie coś, co pozwala liczyć odległości w danej przestrzeni. Jest w pewnym sensie uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.

Żeby zobaczyć jak wygląda metryka powierzchni Ziemi, musimy najpierw wprowadzić układ współrzędnych. Zastosujemy standardowe współrzędne sferyczne [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] - [latex]\varphi[/latex] ma zakres 0-2π i odpowiada długości geograficznej (tylko liczonej w radianach i bez podziału na półkule), a [latex]\vartheta[/latex] ma zakres 0-π, gdzie 0 odpowiada biegunowi północnemu, π - południowemu, a π/2 - punktom na równiku.

Załóżmy więc, że znajdujemy się w punkcie [latex](\vartheta,\varphi)[/latex] na powierzchni Ziemi i przesuwamy się w szerokości geograficznej o nieskończenie małe [latex]d\vartheta[/latex], a w długości geograficznej o [latex]d\varphi[/latex]. O jaką odległość przesunęliśmy się sumarycznie?

Nie będę tego wyprowadzał, ale odpowiedzią okazuje się być [latex]ds^2 = R^2(d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d\varphi^2)[/latex], gdzie R jest promieniem Ziemi jako kuli - albo, zapominając że mamy do czynienia z kulą zanurzoną w przestrzeni 3D - promieniem krzywizny powierzchni.

Żeby znaleźć długość jakiejś krzywej na powierzchni Ziemi, trzeba odcałkować wzdłuż krzywej [latex]ds[/latex] dane wzorem wyżej.

Dla przykładu: wyobraźmy sobie, że startujemy z bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]) i poruszając się wzdłuż południka ([latex]\varphi=\textrm{const}[/latex], albo [latex]d\varphi = 0[/latex]) docieramy do równoleżnika [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex]. Jaką odległość pokonaliśmy?

Jak już napisałem, trzeba scałkować metrykę. Ponieważ [latex]d\varphi = 0[/latex], otrzymujemy wzdłuż tej krzywej [latex]ds^2 = R^2d\vartheta^2[/latex], czyli [latex]ds = Rd\vartheta[/latex]:

[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{\vartheta_0} Rd\vartheta = R\vartheta_0[/ninlatex]

Nic zaskakującego - trzeba przemnożyć promień Ziemi (promień krzywizny) przez zakreślony kąt.

To teraz zauważmy, że wszystkie punkty o [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] są w tej samej odległości [latex]R\vartheta_0[/latex] od bieguna ([latex]\vartheta=0[/latex]). Tworzą więc okrąg o promieniu [latex]r = R\vartheta_0[/latex]. Obliczmy obwód tego okręgu.

Punkty na tym okręgu mają stałe [latex]\vartheta = \vartheta_0[/latex] i zmienne [latex]\varphi[/latex] (od 0 do 2π), tym razem [latex]d\vartheta = 0[/latex] i metryka sprowadza się do [latex]ds^2 = R^2\sin^2\vartheta_0 d\varphi^2[/latex], albo [latex]ds = R\sin\vartheta_0 d\varphi[/latex].

Całkujemy długość krzywej:

[ninlatex]l = \int ds = \int\limits_0^{2\pi} R\sin\vartheta_0 d\varphi = 2\pi R\sin\vartheta_0[/ninlatex]

Ale to jest dopiero zależność obwodu od abstrakcyjnej współrzędnej [latex]\vartheta_0[/latex] - a chcemy znaleźć zależność od promienia. Na szczęście mamy [latex]r = R\vartheta_0[/latex], czyli [latex]\vartheta_0 = \frac{r}{R}[/latex], stąd:

[ninlatex]l = 2\pi R\sin\frac{r}{R}[/ninlatex]

No i to tyle. Kiedy podstawimy dane dla naszego okręgu r = 10 000 km na Ziemi (promień krzywizny R = 6 378 km), otrzymamy:

[ninlatex]l = 2\pi \times 6378 \times \sin \frac{10000}{6378} = 2\pi \times 6378 \times \sin 1,5679 = 2\pi \times 6378 \times 1 = 40074 \mathrm{km}[/ninlatex]

I mamy wynik, o którym mówiłem.

Ciekawostka: powierzchnia Ziemi - sfera - jest powierzchnią o dodatniej krzywiźnie. Są też powierzchnie o ujemnej krzywiźnie. Na takiej powierzchni jedyną różnicą byłoby, że tam, gdzie w przypadku Ziemi były sinusy, pojawiłyby się sinusy hiperboliczne. Czyli np. obwód okręgu wynosiłby:

[ninlatex]l = 2\pi R \sinh \frac{r}{R}[/ninlatex]

Po podstawieniu tych samych danych (r = 10 000 km, R = 6 378 km) dostalibyśmy l = 2πR sinh(1,5679) = 91930 km, czyli ponad 9r. Na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie obwód jest większy niż 2πr Oczko

Wyszedł z tego krótki kurs podstaw geometrii różniczkowej Duży uśmiech
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
Odpowiedz
#2
Ty to chyba uczysz fizyki na co dzień w jakiejś szkole. Ja takie rzeczy miałem prawie 10 lat temu na studiach to ogarniałem na bieżąco ale jak się nie praktykuje to się bardzo zapomina jak się całkowało i różniczkowało. Uśmiech
Odpowiedz
#3
Haha, nie, nie uczę Duży uśmiech W trakcie studiów zdarzało mi się udzielać korepetycji, ale to już dawno Oczko Po prostu zawsze interesowały mnie takie rzeczy i lubię czasem sobie coś policzyć, albo zaprogramować jakąś symulację, do której muszę sobie wyprowadzić odpowiednie równania Oczko
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
Odpowiedz
#4
W sumie takie cuda wyjdą dla dowolnej figury geometrycznej. Dla kwadratu na sferze przekątne też będą dłuższe niż pierwiastek z 2 razy d do kwadratu. W sumie rzecz istotna w płaskoziemskiej idiotendyskusji, bo kartografom musiały takie rzeczy wychodzić, gdy brali się za mapowanie większych obszarów.
Mówiąc prościej propedegnacja deglomeratywna załamuje się w punkcie adekwatnej symbiozy tejże wizji.
Odpowiedz
#5
kmat napisał(a): W sumie takie cuda wyjdą dla dowolnej figury geometrycznej. Dla kwadratu na sferze przekątne też będą dłuższe niż pierwiastek z 2 razy d do kwadratu.
Prawda. Tzn. tego z kwadratem nie jestem pewien bez przeliczenia (a to już trochę trudniej przeliczyć), ale na intuicję pewnie masz rację.

kmat napisał(a): W sumie rzecz istotna w płaskoziemskiej idiotendyskusji, bo kartografom musiały takie rzeczy wychodzić, gdy brali się za mapowanie większych obszarów.
Też prawda, ale przecież wg płaskoziemców wszystkie mapy są oszukane i to jest spisek... Oczko
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
Odpowiedz
#6
Fizyk napisał(a): Po prostu zawsze interesowały mnie takie rzeczy i lubię czasem sobie coś policzyć, albo zaprogramować jakąś symulację, do której muszę sobie wyprowadzić odpowiednie równania Oczko

To ja poproszę na priva symulację pewnego trafienia maksa w Lotka albo kursu BTC za pół roku Uśmiech
Stawiam pyszną czeremchówkę.
A nas Łódź urzekła szara - łódzki kurz i dym.
Odpowiedz
#7
Sofeicz napisał(a): To ja poproszę na priva symulację pewnego trafienia maksa w Lotka albo kursu BTC za pół roku Uśmiech
Gdybym tylko wiedział, jak taką symulację stworzyć... Oczko
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
Odpowiedz
#8
Mógłbyś od czasu do czasu wrzucać tu co nieco w formie nimi wykładu z pożytkiem dla deczko mniej uczonych w piśmie.

PS.
To dotyczy wszystkich forumowiczów, którzy dysponują jakąś specjalistyczną wiedzą. Kiedyś na forum funkcjonował dział referatów - czas go reaktywować.
A nas Łódź urzekła szara - łódzki kurz i dym.
Odpowiedz
#9
Te referaty to nie były wtedy kiedy forum było takim jakimś portalem czy czymś takim?
Sebastian Flak
Odpowiedz
#10
Fizyk napisał(a): lubię czasem sobie coś policzyć, albo zaprogramować
Chciałbyś podjąć się obliczenia szóstego stopnia swobody mając podane pięć pozostałych na podstawie programu sterującego frezarką numeryczną? Jeśli znasz zasadę pracy pięcioosiowej obrabiarki CNC, to będziesz wiedział o co chodzi, jeśli nie to wyjaśnię. Opatentowałem metodę strugania pięcioosiowego i do jej łatwego wdrożenia potrzebny jest program, który z kodu NC wyszuka wektor prędkości narzędzia i ustawi do niego odpowiednio ostrze. Żaden z obecnych systemów CAM nie wspomaga takiej funkcji w najogólniejszym przypadku.
Metodę opisałem tutaj: https://www.ggtech.com.pl/index.php/labo...m/badania/
Odpowiedz
#11
Brzmi jak coś, nad czym musiałbym spędzić ładnych parę godzin, żeby w ogóle zrozumieć zagadnienie Duży uśmiech Na razie mam wolny czas zapchany po brzegi własnymi projektami, ale może kiedyś... Oczko
[Obrazek: style3,Fizyk.png]
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein
Odpowiedz
#12
Fizyk napisał(a):
Sofeicz napisał(a): To ja poproszę na priva symulację pewnego trafienia maksa w Lotka albo kursu BTC za pół roku Uśmiech
Gdybym tylko wiedział, jak taką symulację stworzyć... Oczko

Musiałbyś użyć symulacji Monte Carlo i trochę statystyki...  Oczko
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#13
Pingwin ma problemy z 5 osiowym CNC, a ja mam problem z wygięciem rurki po spirali.
Pracuję nad projektem składanej z elementów pionowej turbiny wiatrowej w układzie spiralnym.
Każda łopata będzie się składała z 5 elementów nasuwanych na dwie rurki wzmacniające, pełniące funkcje dźwigara.

Problem z tym, że łopata opasuje po spirali 1/3 walca.
Zbudowałem małą giętarkę 3-rolkową ale ta gnie rurkę tylko w jednej płaszczyźnie.
Zupełnie nie mam pomysłu, jak rozwiązać gięcie z dodatkowym 'zwichrowaniem', tak aby uzyskać kształt śrubowy.
A nas Łódź urzekła szara - łódzki kurz i dym.
Odpowiedz
#14
Sofeicz napisał(a): 5 osiowym CNC
To akurat jest zagadnienie 6-cio osiowe

Sofeicz napisał(a): Zupełnie nie mam pomysłu, jak rozwiązać gięcie z dodatkowym 'zwichrowaniem', tak aby uzyskać kształt śrubowy.
A jaka średnica i skok tej spirali, bo na ogół podkłada się za trzecią rolką  kolejną ale pracującą w prostopadłej płaszczyźnie do trzech pozostałych. Problemem mogą tu być duże skoki spirali.

https://www.youtube.com/watch?v=gAuOFESRHgM
https://www.youtube.com/watch?v=miqB2FZK4Nw
Odpowiedz
#15
Właśnie o to chodzi, że ta spirala jest dość 'rozciągnięta'.
Sumarycznie rzeczony walec ma proporcje średnicy do wysokości 1:1,33, a łopata opasuje go zataczając 1/3 obwodu.
Dodatkowym utrudnieniem jest to, że docelowo będą 3 łopaty i wypadałoby wykonać je jak najprecyzyjniej, a te rurki są krytyczne, jeśli chodzi i kształt.
Pewnie będę musiał zrobić jakiś pomniejszony model i kombinować z gięciem np. drutu.
Ale mam wrażenie, że wymyślam proch na nowo.
A nas Łódź urzekła szara - łódzki kurz i dym.
Odpowiedz


Skocz do:


Użytkownicy przeglądający ten wątek: 1 gości