zefciu napisał(a):Mam prośbę. Może być do kubusia, a może być do jego interlokutorów. Od czasu do czasu mam taką ambicję, żeby przeczytać, co kubuś pisze i się do tego ustosunkować. No i otwieram pierwszego posta i czytam. A tam kupa różnych stwierdzeń na temat tego, jakie to przedszkolnie proste, jakichś półdefinicji dziwnym kubusiowym językiem napisanych i utyskiwań na logikę klasyczną. Mniej więcej w 1/3 postu mózg odmawia mi posłuszeństwa i daję sobie spokój do czasu. Prośba jest taka:Ad. 1 i 2
Czy mógłby kubuś, albo ktoś, kto skumał, o co chodzi kubusiowi przedstawić NTI mniej więcej tak:
1.
- jakie funkcje definiuje NTI
2.
- jak te funckje działają na argumenty prawdy i fałszu
3.
- kilka przykładów przenienienia tego wyżej na język mówiony (tak wiem, że to już jest, ale ginie w gąszczu krzyków)
Naprawdę będę wdzięczny.
Ograniczmy się do dwóch funkcji logicznych (=>) i ~(=>) definiowanych zero-jedynkowo jak niżej
Ad3.
Przykład z czekoladą
Ok., to może implikacja wyrażona w operatorach OR i AND, to jedyny punkt styczny NTI ze starą logiką.
Oprzyjmy się tu na przykładzie niżej o czekoladzie, jak coś niejasne to śmiało pytaj.
Kubusiowa szkoła logiki
Temat:
Implikacja wyrażona w operatorach OR i AND.
Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
Kod:
p q Y=p=>q ~Y=~(p=>q)
1 1 =1 0
1 0 =0 1
0 0 =1 0
0 1 =1 0
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne w równaniu A do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Inne sposoby opisu tabeli zero-jedynkowej:
Powyższą tabelę jednoznacznie opisuje też równanie równoważne utworzone dla jedynek w kolumnie (=>):
D
p=>q = ~p+q = (p*q)+(~p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej metodą przedszkolaka poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów:
E.
~(p=>q) = (p*~q) = (~p+~q)*(p+q)*(p+~q)
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
p=>q = ~[~(p=>q)]
podstawiając do prawej strony E mamy:
p=>q = ~(p*~q) = ~[(~p+~q)*(p+q)*(p+~q)]
Oczywiście dla D możemy skorzystać z prawa de’Morgana otrzymując identyczne równanie:
p=>q = ~(p*~q) = ~[(~p+~q)*(p+q)*(p+~q)]
W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z prawa przedszkolaka.
Oczywiście nie wszystkie tego typu równania będą zrozumiałe dla człowieka. W przypadku implikacji jedynym sensownym równaniem bez problemu zrozumiałym dla 5-cio latka jest:
p=>q = ~(p*~q)
Przykład:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C = ~(G*~C)
Zdanie równoważne matematycznie:
Nie może się zdarzyć ~(…, że będziesz grzeczny (G) i nie dostaniesz czekolady (~C)
G=>C = ~(G*~C)
… tata a kiedy skłamiesz ?
Negujemy dwustronnie powyższe równanie:
~(G=>C) = G*~C
B.
Skłamię ~(G=>C) wtedy i tylko wtedy gdy będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady.
~(G=>C) = G*~C
Doskonale widać to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:
p q (=>) N(=>)
G C G=>C ~(G=>C)
1 1 =1 =0
1 0 =0 =1
0 0 =1 =0
0 1 =1 =0
Zauważmy:
B.
~(G=>C) =1 <=> G*~C =1 - skłamię zapisane w symbolicznej algebrze Kubusia
Jedynka w wyniku oznacza tu jedynkę w kolumnie N(=>)
Negujemy dwustronnie i mamy odpowiedź kiedy dotrzymam słowa:
A.
G=>C =1 <=> ~(G*~C) =1 - dotrzymam słowa
Jedynka w wyniku oznacza tu trzy jedynki w kolumnie (=>)
Czyli szczegółowe równanie równoważne jest takie:
G=>C = G*C + ~G*~C + ~G*C
Jeśli którekolwiek wyrażenie z prawej strony przyjmie wartość jeden to dotrzymałem słowa.
Doskonale tu widac istnienie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole'a.
Zdania A i B wypowiedziane sa w przeciwnych logikach, A w dodatniej a B w ujemnej. Oba zdania A i B są prawdziwe (jedynki w wyniku) ale matematycznie nie równoważne !
Jedynki w kolumnie (=>) to zupełnie co innego niż jedynka w kolumnie N(=>).
Wniosek:
W algebrze Boole'a prawdziwe nie zawsze znaczy równoważne !
Powyższe równania to jedyna zgodność współczesnej logiki z NTI w zakresie implikacji.
P.S.
Do Windziarza
Czy podtrzymujesz swoje przekonanie że równania algebry Boole'a to głupoty ... tak przecież skomentowałeś fakt iż:
"Fizyk nauczył sie tworzyc równania algebry Boole'a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej od Kubusia"
Komentarz Windziarza:
Kubuś nauczył Fizyka głupot
Czy nie widzisz Windziarzu wyżej że Kubuś nauczył Fizyka rzeczy bezcennej, pozwalającej podłożyć matematykę pod naturalny język 5-cio latka !