Tak sobie myślałem: skoro Kubuś nie zamierza podać nam definicji/aksjomatów NTI, to trzeba je zrekonstruować samemu.
Oto i wyczekiwana aksjomatyka NTI:
AKSJOMATYKA NTI
1. Zbiór podmiotów/uniwersum - dowolny zbiór (ozn. U)
Przykład - liczby naturalne
2. Zmienna logiczna w sensie Kubusia - predykat opisany na zbiorze U / funkcja przypisująca elementom U wartości z {0,1} (ozn. P, Q, R...)
Przykład: P2 (podzielność przez 2), P8 (podzielność przez 8)
3. Ciąg zmiennych logicznych - skończony ciąg parami różnych zmiennych logicznych (np. (P,Q,R))
Przykład (P8, P2)
4. Możliwy ciąg wartości(logicznych) dla danego ciągu zmiennych logicznych - dowolny ciąg tej samej długości, który składa się z wartości predykatów z ciągu dla jakiegokolwiek elementu U
Przykład dla ciągu (P8, P2): (0,0) (dla elem. 1), (0,1) (dla elementu 2), (1,1) (dla elementu 8)
5. Zbiór możliwych ciągów logicznych oznaczamy Ω
Przykład dla (P8, P2): Ω={(0,0), (0,1), (1,1)}
6. Niemożliwy ciąg wartości dla danego ciągu zmiennych logicznych - ciąg skończony wartości logicznych tej samej długości, tż. nie jest możliwy
Przykład: (1,0)
7. Zbiór możliwych ciągów logicznych oznaczamy Ω'. Suma tych zbiorów ma 2^n elementów dla n-elementowych ciągów zmiennych i jest oznaczana Ψ.
8. Zdanie w sensie Kubusia na podstawie danego ciągu - dowolne połączenie predykatów z danego ciągu operatorami logicznymi, które zawiera wszystkie predykaty z tego ciągu
Przykład dla ciągu (P8, P2) - P8=>P2, P2=>P8, P2+~P2
9. Wynik aplikacji ciągu wartości do zdania w sensie Kubusia - (zdefiniowana tylko, jeśli ciąg wartości i zdanie w sensie Kubusia zostały skonstruowane dla tego samego ciągu zmiennych) wynik wartościowania podstawienia wartości z ciągu wartości pod odpowiednie symbole w zdaniu (oznaczenie: f(ciąg wartości))
Przykład dla ciągu (P8, P2): P8 dla (1,0) -> 1, P2=>P8 dla (1,1) ->1
10. Przeciwobraz prawdy dla ciągu zmiennych i zdania w sensie Kubusia - zbiór {x∈Ψ: f(x)=1} (ozn. f'(1))
Przykład dla ciągu (P8, P2) i zdania P8=>P2: f'(1)={(0,0), (1,1), (0,1)}
Przykład dla ciągu (P8, P2) i zdania P8*P2: f'(1)={(1,1)}
11. Zdanie prawdziwe w sensie Kubusia - zdanie, dla którego f'(1)=Ω
Przykład: P8=>P2
12. Zdanie pseudoprawdziwe - zdanie, dla którego Ω⊂f'(1) i Ω≠ f'(1)
Przykład: P8 fill P2
13. Zdanie prawdziwe w sensie klasycznym - zdanie prawdziwe w sensie Kubusia lub pseudoprawdziwe
14. Zdanie fałszywe - zdanie, które nie jest prawdziwe w sensie klasycznym
Przykład: P8*P2
15. Wartość logiczna - element zbioru {"prawdziwe w sensie Kubusia", "pseudoprawdziwe", "fałszywe"} przypisany danemu zdaniu w sensie Kubusia wg. definicji 11-14
TWIERDZENIA NTI:
1. Jeśli zdanie na uniwersum jest prawdziwe w sensie klasycznym, to to samo zdanie na poduniwersum jest też prawdziwe w sensie klasycznym.
2. Twierdzenie przeciwne: jeśli zdanie na poduniwersum jest fałszywe, to to samo zdanie na uniwersum jest też fałszywe.
3. Jeśli zdanie na uniwersum jest pseudoprawdziwe, to to samo zdanie na poduniwersum będzie pseudoprawdziwe.
4. Negacja zdania prawdziwego lub pseudoprawdziwego w sensie Kubusia na niepustym uniwersum jest fałszywa. Negacja zdania fałszywego na niepustym uniwersum jest albo prawdziwa w sensie Kubiusia, albo pseudoprawdziwa.
5. Zdania na pustym uniwersum są zawsze pseudoprawdziwe, oprócz zdań, których przeciwobraz prawdy jest pusty, np. P nop P, które to są prawdziwe w sensie Kubusia
6. P=>Q ma tę samą wartość logiczną, co ~Q=>~P
7. Gdy zastąpimy w formule zdania zmienne (P, Q, R) klasycznymi predykatami (P(x), Q(x), R(x)) oraz dodamy na początek "∀x∈U", to uzyskamy klasyczne wyrażenie kwantyfikatorowe, które będzie prawdziwe wtw gdy zdanie w sensie Kubusia jest prawdziwe w sensie klasycznym.
Parę uwag końcowych: Ta aksjomatyka została zbudowana NAD teorią mnogości, więc nie jest tak elementarna, jak aksjomatyka KRZ. Poza tym, nie gwarantuję zgodności tej aksjomatyki z poglądami Kubusia, napisałem tylko, co mi się wydawało.
I na sam koniec - różnica między pseudoprawdziwością a prawdziwością w sensie Kubusia jest tak znikoma, a ich odróżnienie jest takie trudne, że lepiej, by tych pojęć nie używać i połączyć je w pojęcie prawdziwości klasycznej.
Oto i wyczekiwana aksjomatyka NTI:
AKSJOMATYKA NTI
1. Zbiór podmiotów/uniwersum - dowolny zbiór (ozn. U)
Przykład - liczby naturalne
2. Zmienna logiczna w sensie Kubusia - predykat opisany na zbiorze U / funkcja przypisująca elementom U wartości z {0,1} (ozn. P, Q, R...)
Przykład: P2 (podzielność przez 2), P8 (podzielność przez 8)
3. Ciąg zmiennych logicznych - skończony ciąg parami różnych zmiennych logicznych (np. (P,Q,R))
Przykład (P8, P2)
4. Możliwy ciąg wartości(logicznych) dla danego ciągu zmiennych logicznych - dowolny ciąg tej samej długości, który składa się z wartości predykatów z ciągu dla jakiegokolwiek elementu U
Przykład dla ciągu (P8, P2): (0,0) (dla elem. 1), (0,1) (dla elementu 2), (1,1) (dla elementu 8)
5. Zbiór możliwych ciągów logicznych oznaczamy Ω
Przykład dla (P8, P2): Ω={(0,0), (0,1), (1,1)}
6. Niemożliwy ciąg wartości dla danego ciągu zmiennych logicznych - ciąg skończony wartości logicznych tej samej długości, tż. nie jest możliwy
Przykład: (1,0)
7. Zbiór możliwych ciągów logicznych oznaczamy Ω'. Suma tych zbiorów ma 2^n elementów dla n-elementowych ciągów zmiennych i jest oznaczana Ψ.
8. Zdanie w sensie Kubusia na podstawie danego ciągu - dowolne połączenie predykatów z danego ciągu operatorami logicznymi, które zawiera wszystkie predykaty z tego ciągu
Przykład dla ciągu (P8, P2) - P8=>P2, P2=>P8, P2+~P2
9. Wynik aplikacji ciągu wartości do zdania w sensie Kubusia - (zdefiniowana tylko, jeśli ciąg wartości i zdanie w sensie Kubusia zostały skonstruowane dla tego samego ciągu zmiennych) wynik wartościowania podstawienia wartości z ciągu wartości pod odpowiednie symbole w zdaniu (oznaczenie: f(ciąg wartości))
Przykład dla ciągu (P8, P2): P8 dla (1,0) -> 1, P2=>P8 dla (1,1) ->1
10. Przeciwobraz prawdy dla ciągu zmiennych i zdania w sensie Kubusia - zbiór {x∈Ψ: f(x)=1} (ozn. f'(1))
Przykład dla ciągu (P8, P2) i zdania P8=>P2: f'(1)={(0,0), (1,1), (0,1)}
Przykład dla ciągu (P8, P2) i zdania P8*P2: f'(1)={(1,1)}
11. Zdanie prawdziwe w sensie Kubusia - zdanie, dla którego f'(1)=Ω
Przykład: P8=>P2
12. Zdanie pseudoprawdziwe - zdanie, dla którego Ω⊂f'(1) i Ω≠ f'(1)
Przykład: P8 fill P2
13. Zdanie prawdziwe w sensie klasycznym - zdanie prawdziwe w sensie Kubusia lub pseudoprawdziwe
14. Zdanie fałszywe - zdanie, które nie jest prawdziwe w sensie klasycznym
Przykład: P8*P2
15. Wartość logiczna - element zbioru {"prawdziwe w sensie Kubusia", "pseudoprawdziwe", "fałszywe"} przypisany danemu zdaniu w sensie Kubusia wg. definicji 11-14
TWIERDZENIA NTI:
1. Jeśli zdanie na uniwersum jest prawdziwe w sensie klasycznym, to to samo zdanie na poduniwersum jest też prawdziwe w sensie klasycznym.
2. Twierdzenie przeciwne: jeśli zdanie na poduniwersum jest fałszywe, to to samo zdanie na uniwersum jest też fałszywe.
3. Jeśli zdanie na uniwersum jest pseudoprawdziwe, to to samo zdanie na poduniwersum będzie pseudoprawdziwe.
4. Negacja zdania prawdziwego lub pseudoprawdziwego w sensie Kubusia na niepustym uniwersum jest fałszywa. Negacja zdania fałszywego na niepustym uniwersum jest albo prawdziwa w sensie Kubiusia, albo pseudoprawdziwa.
5. Zdania na pustym uniwersum są zawsze pseudoprawdziwe, oprócz zdań, których przeciwobraz prawdy jest pusty, np. P nop P, które to są prawdziwe w sensie Kubusia
6. P=>Q ma tę samą wartość logiczną, co ~Q=>~P
7. Gdy zastąpimy w formule zdania zmienne (P, Q, R) klasycznymi predykatami (P(x), Q(x), R(x)) oraz dodamy na początek "∀x∈U", to uzyskamy klasyczne wyrażenie kwantyfikatorowe, które będzie prawdziwe wtw gdy zdanie w sensie Kubusia jest prawdziwe w sensie klasycznym.
Parę uwag końcowych: Ta aksjomatyka została zbudowana NAD teorią mnogości, więc nie jest tak elementarna, jak aksjomatyka KRZ. Poza tym, nie gwarantuję zgodności tej aksjomatyki z poglądami Kubusia, napisałem tylko, co mi się wydawało.
I na sam koniec - różnica między pseudoprawdziwością a prawdziwością w sensie Kubusia jest tak znikoma, a ich odróżnienie jest takie trudne, że lepiej, by tych pojęć nie używać i połączyć je w pojęcie prawdziwości klasycznej.
Wydaje się, że nie można rozprawiać filozoficznie nie oglądając się przy tym na odkrycia naukowe, bo się zrobi z tego intelektualny pierdolnik. — Palmer Eldritch
Absence of evidence is evidence of absence. – Eliezer Yudkowsky
If it disagrees with experiment, it's wrong. — Richard Feynman
學而不思則罔,思而不學則殆。 / 己所不欲,勿施于人。 ~ 孔夫子
Science will win because it works. — Stephen Hawking
Science. It works, bitches. — Randall Munroe
Absence of evidence is evidence of absence. – Eliezer Yudkowsky
If it disagrees with experiment, it's wrong. — Richard Feynman
學而不思則罔,思而不學則殆。 / 己所不欲,勿施于人。 ~ 孔夫子
Science will win because it works. — Stephen Hawking
Science. It works, bitches. — Randall Munroe