Dobra, podsumujmy tę dyskusję raz a dobrze. Właściwie po tym, co zamierzam napisać, dalsze ciągnięcie tego wątku powinno być zbędne, ale Kubuś pewnie i tak wklei całą swoją NTI jeszcze miliard razy. No nic.
[SIZE="5"]Matematyczny zapis NTI[/SIZE]
Implikację odwrotną będę oznaczał przez [latex]\rightarrow[/latex]. Wszelkie niezdefiniowane pojęcia (zdanie, predykat, operator logiczny) należy rozumieć jak w KRZ.
Definicja 1.
Zdaniem w sensie Kubusia (w skrócie zwK) nazywamy obiekt:
[latex]P(x) \circ Q(x)[/latex]
gdzie [latex]P,\:Q[/latex] - predykaty na zbiorze [latex]X[/latex], a [latex]\circ[/latex] - pewien operator logiczny.
Definicja 2.
Predykat Kubusia [latex]\Phi(a,P)[/latex], gdzie [latex]a \in \{0,1\}[/latex], a [latex]P[/latex] - predykat na zbiorze [latex]X[/latex] jest to predykat taki, że:
[latex]\Phi(a,P)(x) = \left{\begin{array}{lcl}
P(x) & \mbox{gdy} & a=1 \\
\sim P(x) & \mbox{gdy} & a=0
\end{array}\right.[/latex]
Analogicznie zdanie Kubusia:
[latex]\phi(a,p)= \left{\begin{array}{lcl}
p & \mbox{gdy} & a=1 \\
\sim p & \mbox{gdy} & a=0
\end{array}\right.[/latex]
Definicja 3.
ZwK [latex]P(x) \circ Q(x)[/latex] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zdanie:
[latex]\forall_{(a,b) \in \{0,1\}\times\{0,1\}} \phi \left( a \circ b, \exists_{x \in X} \Phi(a,P)(x) \wedge \Phi(b,Q)(x) \right)[/latex]
Twierdzenie 1 (o prawach Kubusia).
ZwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zwK [latex]\sim P(x) \rightarrow \sim Q(x)[/latex].
Dowód:
Prawdziwość zwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] oznacza:
Prawdziwość zwK [latex]\sim P(x) \rightarrow \sim Q(x)[/latex] oznacza:
Są to te same 4 warunki, co kończy dowód.
Twierdzenie 2 (równanie ogólne implikacji).
ZwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] oraz zwK [latex]P(x) \rightarrow Q(x)[/latex] nie mogą być jednocześnie prawdziwe.
Dowód:
Warunki prawdziwości [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex]:
[list="1"]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\sim \left( \exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)\right)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[/list]
Warunki prawdziwości [latex]P(x) \rightarrow Q(x)[/latex]:
[list="1"]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[*][latex]\sim \left( \exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)\right)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[/list]
Warunki 2 i 3 prawdziwości jednego zwK są sprzeczne z warunkami 2 i 3 prawdziwości drugiego zwK, co kończy dowód.
Wniosek
Nawiasem mówiąc: to dowodzi, że Twoje p=>q # p~>q nie jest prawdą!. Jest możliwe, aby oba te zdania były fałszywe. Np. gdy p = P3, q = P8.
P3=>P8 - fałsz.
P3~>P8 - fałsz.
[SIZE="5"]Matematyczny zapis NTI[/SIZE]
Implikację odwrotną będę oznaczał przez [latex]\rightarrow[/latex]. Wszelkie niezdefiniowane pojęcia (zdanie, predykat, operator logiczny) należy rozumieć jak w KRZ.
Definicja 1.
Zdaniem w sensie Kubusia (w skrócie zwK) nazywamy obiekt:
[latex]P(x) \circ Q(x)[/latex]
gdzie [latex]P,\:Q[/latex] - predykaty na zbiorze [latex]X[/latex], a [latex]\circ[/latex] - pewien operator logiczny.
Definicja 2.
Predykat Kubusia [latex]\Phi(a,P)[/latex], gdzie [latex]a \in \{0,1\}[/latex], a [latex]P[/latex] - predykat na zbiorze [latex]X[/latex] jest to predykat taki, że:
[latex]\Phi(a,P)(x) = \left{\begin{array}{lcl}
P(x) & \mbox{gdy} & a=1 \\
\sim P(x) & \mbox{gdy} & a=0
\end{array}\right.[/latex]
Analogicznie zdanie Kubusia:
[latex]\phi(a,p)= \left{\begin{array}{lcl}
p & \mbox{gdy} & a=1 \\
\sim p & \mbox{gdy} & a=0
\end{array}\right.[/latex]
Definicja 3.
ZwK [latex]P(x) \circ Q(x)[/latex] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zdanie:
[latex]\forall_{(a,b) \in \{0,1\}\times\{0,1\}} \phi \left( a \circ b, \exists_{x \in X} \Phi(a,P)(x) \wedge \Phi(b,Q)(x) \right)[/latex]
Twierdzenie 1 (o prawach Kubusia).
ZwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zwK [latex]\sim P(x) \rightarrow \sim Q(x)[/latex].
Dowód:
Prawdziwość zwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] oznacza:
- [latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
- [latex]\sim \left( \exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)\right)[/latex]
- [latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)[/latex]
- [latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
Prawdziwość zwK [latex]\sim P(x) \rightarrow \sim Q(x)[/latex] oznacza:
- [latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
- [latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim \sim Q(x) \Leftrightarrow \exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)[/latex]
- [latex]\sim \left( \exists_{x \in X} \sim \sim P(x) \wedge \sim Q(x)\right)\Leftrightarrow \sim \left( \exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)\right)[/latex]
- [latex]\exists_{x \in X} \sim \sim P(x) \wedge \sim \sim Q(x) \Leftrightarrow \exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
Są to te same 4 warunki, co kończy dowód.
Twierdzenie 2 (równanie ogólne implikacji).
ZwK [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex] oraz zwK [latex]P(x) \rightarrow Q(x)[/latex] nie mogą być jednocześnie prawdziwe.
Dowód:
Warunki prawdziwości [latex]P(x) \Rightarrow Q(x)[/latex]:
[list="1"]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\sim \left( \exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)\right)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[/list]
Warunki prawdziwości [latex]P(x) \rightarrow Q(x)[/latex]:
[list="1"]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge Q(x)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[*][latex]\sim \left( \exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge Q(x)\right)[/latex]
[*][latex]\exists_{x \in X} \sim P(x) \wedge \sim Q(x)[/latex]
[/list]
Warunki 2 i 3 prawdziwości jednego zwK są sprzeczne z warunkami 2 i 3 prawdziwości drugiego zwK, co kończy dowód.
Wniosek
Nawiasem mówiąc: to dowodzi, że Twoje p=>q # p~>q nie jest prawdą!. Jest możliwe, aby oba te zdania były fałszywe. Np. gdy p = P3, q = P8.
P3=>P8 - fałsz.
P3~>P8 - fałsz.
"Tylko dwie rzeczy są nieskończone - Wszechświat i ludzka głupota. Co do Wszechświata nie jestem pewien" - Albert Einstein