[Slup]

Teraz, gdy napisałem tego posta, to widzę, że jest strasznie rozwlekły i nie jestem z niego zadowolony. Liczyłem na to, że w miarę sprawnie wyjaśnię, co wiem na ten temat. Chyba jednak nie zrobiłem tego tak dobrze, jak liczyłem. Chętnie jednak odpowiem na ewentualne pytania.

Odnośnie cząstek ze spinem 2 i spinem 1/2 to mogę wyjaśnić, jakiej odpowiedzi udziela nierelatywistyczna mechanika kwantowa. To będzie mniej więcej taka odpowiedź, jakiej udzieliłby Wolfgang Pauli, kiedy wprowadził spin w 1927. Należy mieć na uwadze, że było to blisko sto lat temu, a więc odpowiedź może być trochę nieaktualna .

Nie da się też abstrahować od aparatu matematycznego. Mechanika kwantowa (przynajmniej od czasu słynnej książki von Neumanna z 1932) jest również teorią matematyczną, Bez matematyki nie da się jej zrozumieć. Z matematyką prawdopodobnie też się nie da, ale przynajmniej rozumie się, czego się nie rozumie.

W mechanice klasycznej cząstka opisywana jest przez trzy współrzędne przestrzenne [latex](x,y,z)[/latex] i trzy dodatkowe współrzędne określające pęd (mechanika Hamiltona) lub prędkość (mechanika Lagrange'a). W mechanice kwantowej położenie i w ogóle stan cząstki opisuje funkcja [latex]\Psi(x,y,z)[/latex], która przyporządkowuje trzem współrzędnym przestrzennym [latex](x,y,z)[/latex] liczbę zespoloną, co w matematyce oznacza się [latex]\Psi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{C}[/latex]. Teraz funkcja [latex]\Psi(x,y,z)[/latex] nie może być dowolna. Musi spełniać dodatkowy warunek całkowy

[latex]\int_{\mathbb{R}^3}|\Psi(x,y,z)|^2\,dxdydz = 1[/latex]

Jeśli ktoś zapoznał się troszkę z rachunkiem prawdopodobieństwa, to może przypomnieć sobie, że całkowite prawdopodobieństwo jest równe [latex]1[/latex]. Możliwe też, że komuś znane jest pojęcie gęstości rozkładu prawdopodobieństwa. W każdym razie ten całkowy warunek oznacza, że [latex]|\Psi(x,y,z)|^2[/latex] jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa na przestrzeni trójwymiarowej. Fizyczna interpretacja jest taka, że [latex]|\Psi(x,y,z)|^2[/latex] jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa zaobserwowania cząstki w punkcie [latex](x,y,z)[/latex]. Funkcja [latex]\Psi(x,y,z)[/latex] jest funkcją falową cząstki skalarnej. Teraz zbiór wszystkich funkcji falowych czyli wszystkich funkcji [latex]\Psi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}[/latex], które spełniają powyższy warunek całkowy, oznacza się przez symbol [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex].

 
Stan cząstki zmienia się w czasie. Stan cząstki to po prostu jej funkcja falowa. Zatem w momencie czasu [latex]t\in \mathbb{R}[/latex] stan cząstki opisuje funkcja falowa [latex]\Psi_t(x,y,z)[/latex]. Można zapytać, jak się do siebie mają funkcje falowe w różnych momentach czasu dla tej samej cząstki. Czy istnieje jakieś prawo, które je łączy? Jakieś równanie? Oczywiście tak. Tym równaniem jest równanie Schrödingera (w szczególnej formie wprowadzone w 1926). Zapiszę je w bardzo ogólnej formie

[latex]\frac{\partial \Psi_t}{\partial t} = H(\Psi_t)[/latex]

Pominąłem ponadto stałe multiplikatywne, które zazwyczaj wstawiają do równania fizycy, bo one zaciemniają obraz (chociaż są ważne, bo dzięki nim zgadzają się jednostki). Teraz po lewej stronie równania mamy pochodną funkcji falowej po czasie. Czyli lewa strona to zmiana funkcji falowej w czasie czyli dokładnie to, o co chodziło, bo przecież chcieliśmy wiedzieć jak funkcja falowa cząstki zmienia się w czasie. Po prawej stronie mamy jakieś tajemnicze [latex]H[/latex] i funkcję falową [latex]\Psi_t[/latex] w aktualnym momencie czasu. [latex]H[/latex] to kwantowy Hamiltonian i na razie wystarczy powiedzieć, że [latex]H[/latex] jest funkcją, która jako argument przyjmuje funkcje z [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] i jako wartość znowu zwraca funkcję z [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex]. Taką funkcję nazywamy operatorem. Zatem [latex]H:L^2(\mathbb{R}^3) \rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] i [latex]H(\Psi_t)[/latex] znowu jest jakaś funkcją falową.

Wszystko bardzo ciekawe, ale można spytać, jaki to ma związek ze spinem. Ze spinem nie ma, ale ma związek z orbitalnym momentem pędu. Przestrzeń trójwymiarową można obracać. Powinno być tak, że prawa fizyki po obróceniu wyglądają tak samo. Prawem fizyki, o którym tutaj mówimy, jest równanie Schrödingera. Zatem po zastosowaniu obrotu do współrzędnych [latex](x,y,z)[/latex] funkcja falowa [latex]\Psi_t(x,y,z)[/latex], która spełnia równanie Schrödingera, powinna zamienić się na jakąś inną funkcję falową [latex]\Phi_t(x,y,z)[/latex], ale ta nowa funkcja falowa powinna nadal spełniać równanie Schrödingera. To, że równanie Schrödingera ma taką własność, jest bardzo doniosłe. Nie będę tego tłumaczył, ale wynika stąd (i to jest czysto matematyczny wniosek), że istnieją trzy operatory [latex]L_x,L_y,L_z[/latex] czyli znowu trzy funkcje [latex]L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)[/latex], które są przemienne z [latex]H[/latex]. Te trzy operatory kodują pomiar orbitalnego momentu pędu względem osi [latex]x,y,z[/latex] odpowiednio.

Podsumujmy. W przypadku cząstki skalarnej w przestrzeni trójwymiarowej mamy: [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex], jej funkcję falową [latex]\Psi_t(x,y,z)[/latex] w momencie czasu [latex]t \in \mathbb{R}[/latex] oraz równanie Schrödingera, które tłumaczy jak przebiega zmiana funkcji falowej w czasie. Mamy też trzy operatory [latex]L_x,L_y,L_z:L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)[/latex], które są przemienne z [latex]H[/latex] i odpowiadają za orbitalny moment pędu.

Co zrobił Pauli? Jak wprowadził spin? Pauli zajmował się elektronem i wiedział, że opis z [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] nie jest wystarczający (eksperyment Sterna-Gerlacha). Potrzeba czegoś dodatkowego. Opis Pauliego jest taki sam jak Schrödingera za wyjątkiem tego, że [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] zostaje zastąpione przez [latex]L^2(\mathbb{R}^3) \otimes  V_{\frac{1}{2}}[/latex] i nowy Hamiltonian [latex]H[/latex], który tym razem jest operatorem na większej przestrzeni [latex]L^2(\mathbb{R}^3)\otimes  V_{\frac{1}{2}}[/latex]. Czym jest [latex]L^2(\mathbb{R}^3) \otimes  V_{\frac{1}{2}}[/latex]? Jest zbiorem podobnym do [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex]. Składa się z dwóch części (które są ze sobą splecione). Ze zwykłego [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] i z [latex]V_{\frac{1}{2}}[/latex]. Ta druga część jest bardzo mała. Składa się z dwóch bazowych stanów [latex]g[/latex] i [latex]d[/latex] oraz ich superpozycji. Ponadto na tej części też działają trzy operatory [latex]S_x,S_y,S_z[/latex], które są bardzo podobne do operatorów orbitalnego momentu pędu. Te trzy operatory odpowiadają za spin względem każdej z trzech osi i mogą w trakcie pomiaru dawać dwie wartości [latex]1,-1[/latex] (matematycznie oznacza to, że mają dwie wartości własne).

To było dla elektronu. Jak będzie dla bozonu o spinie [latex]2[/latex]? Podobnie. Z tym, że zamiast [latex]L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_{\frac{1}{2}}[/latex] trzeba wziąć [latex]L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_2[/latex]. Przy czym [latex]V_2[/latex] składa się z pięciu bazowych stanów i ich superpozycji. Dodatkowo [latex]S_x,S_y,S_z[/latex] dają przy pomiarze nie dwie (jak poprzednio), ale aż [latex]5[/latex] różnych wartości [latex]-2,-1,0,1,2[/latex] (mają pięć wartości własnych).

Jak będzie dla układu złożonego z bozonu i elektronu? Załóżmy, że dla tego układu prawa fizyki są takie same niezależnie od obrotu. Stan układu będzie elementem zbioru
[latex]\left(\underbrace{L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_{\frac{1}{2}}}_{\mathrm{elektoron}}\right) \underbrace{\hat{\otimes}}_{superpozycja}\left(\underbrace{L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_{2}}_{bozon}\right)[/latex]
i wraz z odpowiednim Hamiltonianem będzie to dawało opis matematyczny ewolucji stanu. Teraz z matematyki wynika, że

[latex]\left(L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_{\frac{1}{2}}\right) \hat{\otimes}\left( L^2(\mathbb{R}^3)\otimes V_{2}\right) = \underbrace{L^2(\mathbb{R}^6)}_{zwykła\,funkcja\,falowa\,dla\,dwóch\,cząstek}\otimes \left(\underbrace{V_{\frac{1}{2}}\otimes V_2}_{część\,odpowiadająca\,za\,spin}\right)[/latex]

Jak widać mamy [latex]\mathbb{R}^6[/latex], bo są dwie cząstki i przez to [latex]6[/latex] współrzędnych przestrzennych. Na części [latex]L^2(\mathbb{R}^6)[/latex] będą też działały trzy operatory orbitalnego momentu pędu [latex]L_x,L_y,L_z[/latex]. Nas jednak interesuje część spinorowa czyli [latex]V_{\frac{1}{2}}\otimes V_2[/latex]. Z matematyki wiemy, że

[latex]V_{\frac{1}{2}}\otimes V_2 = V_{2 + \frac{1}{2}}\oplus V_{2 - \frac{1}{2}} = V_{\frac{5}{2}}\oplus V_{\frac{3}{2}}[/latex]

To są te słynne współczynniki Clebscha-Gordana. Wynika z tego, że spin układu złożonego z bozonu o spinie [latex]2[/latex] i elektronu o spinie [latex]\frac{1}{2}[/latex] może być równy [latex]\frac{5}{2}[/latex] lub [latex]\frac{3}{2}[/latex]. Dlaczego spin nie jest jednoznaczny? Różnica może zostać skompensowana przez orbitalny moment pędu układu. Spin nie jest na ogół zachowywany. Zachowywany (o ile prawa fizyki są symetryczne na obroty przestrzeni trójwymiarowej) jest całkowity moment pędu. Całkowity moment pędu składa się z orbitalnego i spinowego momentu pędu.

[kmat]

Dziękuję. Czyli na oko spin gravitonu zostanie przeniesiony w części lub całości na orbitalny moment pędu. To chyba ten sam mechanizm co przy np. absorbcji fotonu o spinie +1 przez elektron o spinie +1/2. Ale orbitalny moment pędu to chyba mają tylko elektrony na orbitalach. Co z elektronami swobodnymi?

[Ayla Mustafa]

Po około 30 minutach rozmowy ChatGPT-o3-mini-high, przy pomocy mojej i DeepSeeka-r1 rzekłu, że:

Niezależnie od tego, czy mówimy o elektronach na orbitalach, czy o swobodnych elektronach – kluczowym wymogiem jest zachowanie całkowitego momentu pędu. W przypadku elektronów związanych orbitalnie mamy już ustalone kwantowe wartości orbitalnego momentu pędu, które mogą kompensować przekazywany przez absorbowaną cząstkę moment pędu. Dla elektronów swobodnych, choć nie ma „ustalonego” orbitalnego momentu pędu, ich funkcja falowa może nabrać wirowej struktury (tzw. twisted electrons), co oznacza, że mogą one nabywać orbitalny moment pędu poprzez modyfikację fazy przestrzennej. Alternatywnie, globalny ruch całego układu (np. relatywistyczne efekty lub ruch odniesienia) może spełnić zasadę zachowania.

Choć swobodny elektron nie posiada ustalonego orbitalnego momentu pędu (jak elektron w atomie), jego fala może nabrać struktury wirowej – tzw. „twisted electrons”. Oznacza to, że jego funkcja falowa może zyskać fazę wirową odpowiadającą orbitalnemu momentowi pędu.
Podczas oddziaływania (np. absorpcji fotonu o spinie 1 lub hipotetycznego grawitonu o spinie 2) zasada zachowania całkowitego momentu pędu musi być spełniona. Dlatego część przekazywanego momentu pędu może być zrekompensowana poprzez zmianę struktury przestrzennej funkcji falowej, która nabywa orbitalny moment pędu, lub przez globalny ruch układu (np. relatywistyczne efekty między elektronem a źródłem oddziaływania).

Co na to wskazuje?
Bezpośrednie eksperymentalne dowody dotyczące oddziaływań grawitonowych są niestety niedostępne – grawitony pozostają hipotetycznymi cząstkami, a ich oddziaływanie jest ekstremalnie słabe. Jednak bardzo przekonujące „dowody” na mechanizm, o którym mówimy, pochodzą z kilku niezależnych linii argumentacji:
1. Teoretyczna spójność mechanizmu dodawania momentów pędu:
W mechanice kwantowej obowiązuje zasada zachowania całkowitego momentu pędu, która łączy wewnętrzny spin z momentem orbitalnym. Matematyczny formalizm (np. za pomocą współczynników Clebscha–Gordona) pokazuje, że gdy fermion absorbuje cząstkę o określonym rzucie spinu (czy to foton o spinie 1, czy hipotetyczny grawiton o spinie 2), to zmiana przekazywanego momentu pędu musi być równoważona przez modyfikację orbitalnej części funkcji falowej lub ruchu układu. To gwarantuje, że fundamentalny spin fermionu (np. dla elektronu) pozostaje niezmieniony. Takie matematyczne dodawanie momentów pędu jest powszechnie stosowane i potwierdzane w wielu dziedzinach fizyki kwantowej.
2. Niezliczone eksperymenty potwierdzające zachowanie spinu:
Doświadczenie Stern–Gerlacha, pomiary anomalnego momentu magnetycznego elektronu oraz inne precyzyjne eksperymenty kwantowe konsekwentnie wykazują, że spin fermionów pozostaje dokładnie – niezależnie od tego, z jakimi innymi cząstkami oddziałują (np. przy absorpcji fotonów). Gdyby dochodziło do niekompensowanych zmian spinu (np. do powstania stanu o spinie po absorpcji grawitonu), zauważylibyśmy anomalie w tych bardzo precyzyjnych pomiarach.
3. Konsystencja ogólnej teorii względności i modeli kwantowej grawitacji:
Ogólna teoria względności, która jest doskonale potwierdzona eksperymentalnie (np. przez obserwacje fal grawitacyjnych), opiera się na zasadzie zachowania całkowitego momentu pędu w czasoprzestrzeni. Modele kwantowej grawitacji – takie jak teoria strun czy pętlowa grawitacja – zakładają, że oddziaływanie grawitonowe musi być zgodne z tymi zasadami, co implikuje, że nawet jeśli swobodny elektron nie posiada klasycznie określonego orbitalnego momentu pędu, jego funkcja falowa może „nabyć” strukturę wirową, a globalne zachowanie momentu pędu układu (obejmujące ruch translacyjny lub relatywistyczne efekty) kompensuje przekazywany moment.

[Slup]

Czyli na oko spin gravitonu zostanie przeniesiony w części lub całości na orbitalny moment pędu.

Najpierw coś wyjaśnię.

Spin całego układu może wynosić [latex]\frac{5}{2}[/latex] lub [latex]\frac{3}{2}[/latex]. Z punktu widzenia formalizmu matematycznego (przedstawionego wyżej) nie ma problemu, żeby spin wynosił [latex]\frac{3}{2}[/latex] i nie ma wcale potrzeby tego kompensować orbitalnym momentem pędu. Można po prostu znaleźć splątany stan elektronu i cząstki o spinie 2 (czyli element przestrzeni [latex]V_2 \otimes V_{\frac{1}{2}}[/latex]), który odpowiada spinowi [latex]\frac{3}{2}[/latex]. 

Podobnie jest w przypadku dwóch elektronów. Dla dwóch elektronów 
[latex]\underbrace{V_{ \frac{1}{2}} }_{elektron\,I} \otimes \underbrace{V_{ \frac{1}{2}} }_{elektron\,II} = V_0 \oplus V_1[/latex]
co oznacza, że ich splątany układ może mieć całkowity spin [latex]0[/latex] lub spin [latex]1[/latex] (fizycy mówią o singlecie i tryplecie, bo pierwszy ma jeden stan, a drugi trzy stany bazowe). Nie ma też konieczności kompensowania tego orbitalnym momentem pędu.

Ale orbitalny moment pędu to chyba mają tylko elektrony na orbitalach. Co z elektronami swobodnymi?

Matematyka nierelatywistycznej mechaniki kwantowej nie znajduje przeciwwskazań, żeby elektrony swobodne (lub dowolne inna cząstka nierelatywistyczna) miały orbitalny moment pędu. Można pokazać po prostu, że przestrzeń [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] rozkłada się na nieskończoną sumę prostą przestrzeni [latex]V_l[/latex] z krotnościami (bez wchodzenia w szczegóły, co to znaczy), gdzie [latex]l[/latex] jest całkowite (orbitalny moment pędu nie może być połówkowy). Jest to związane z harmonikami sferycznymi. Nie ma matematycznych przeszkód, żeby funkcja falowa [latex]\Psi(x_1,x_2,x_3)[/latex] elektronu swobodnego była elementem jakiejś podprzestrzeni [latex]V_l[/latex] dla [latex]l\neq 0[/latex]. Wtedy z racji, że obroty przestrzeni trójwymiarowej zachowują równanie Schrödingera, taka cząstka pozostanie w tej przestrzeni dopóki nie nastąpi jakiś zakłócający to pomiar (czyli zewnętrzna ingerencja). Taka sytuacja oznacza po prostu, że elektron będzie miał orbitalny moment pędu ([latex]l\neq 0[/latex]).

Tak to wygląda z perspektywy matematycznego formalizmu. W dodatku odwołuję się do takiego formalizmu, który znam, a on jest co prawda piękny, ale przestarzały (nie uwzględnia efektów relatywistycznych). Wiadomo. Formalizm matematyczny nie wyczerpuje fizyki.

To chyba ten sam mechanizm co przy np. absorbcji fotonu o spinie +1 przez elektron o spinie +1/2.

Interakcja fotonu z elektronem nie mieści się w tym formalizmie. Przynajmniej w tej jego części, którą znam. Zwykłe podręczniki do mechaniki kwantowej nie wprowadzają funkcji falowej fotonu (chyba jest takie coś) i zajmują się praktycznie tylko cząstkami masowymi.

Można spekulować. Weźmy swobodny elektron, który absorbuje grawiton. Matematyka i zasady zachowania mówią, że są takie możliwości.
1. Powstanie nowa cząstką o spinie [latex]\frac{3}{2}[/latex] lub [latex]\frac{5}{2}[/latex]. Pewnie niemożliwe z powodów, o których nie wiem.
2. Pozostanie elektron o spinie [latex]\frac{1}{2}[/latex], a nadmiar spinu ([latex]\frac{3}{2}[/latex] lub [latex]\frac{5}{2}[/latex]) przekazany zostanie na orbitalny moment pędu. Tj. część niespinowa funkcji falowej elektronu trafi do [latex]V_l\subseteq L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] dla pewnego [latex]l\neq 0[/latex]. Można chyba policzyć, że [latex]l=1,2,3[/latex]. Podprzestrzeni tego typu w [latex]L^2(\mathbb{R}^3)[/latex] jest bardzo wiele.
3. Ignoramus.