[Wron NIEmiecki]

Jako ze duzo programuje w VBA i Excelu, trafilem na dosc interesujacy sposob rozwiazywania rownanan chemicznych za pomoca metod algebry liniowej. Nie zamierzam od razu walic z grubej rury, lecz przedstawic wstep do tego zagadnienia, zeby idea zostala zrozumiana.
1. Wezmy jedna z najprostszych reakcji chemicznych:

[latex-script-call]2H_2 + O_2 \rightleftharpoons 2 H_2O[/latex-script-call]

Mozna ja przedstawic zgodnie z konwencja IUPAC w zapisie algebraicznym jako:

[latex-script-call]-2H_2 - O_2 + 2 H_2O = 0[/latex-script-call]

gdzie ujemne wspolczynniki sa dla substratow, a pozytywne dla produktow

2. Powiedzmy, ze nie znamy stechiometrii miedzy wodorem a tlenem i woda, a jedynie znam wzory sumaryczne produktow. Jak je zatem matematycznie ustalic?

Najpierw nalezy zrobic bilans, ale nie taki zwykly! Nalezy przeanalizowac jakie atomy wchodza w sklad wszystkich reagentow oraz ostalic ich ilosc. Mozna to zrobic tak:

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & O_2 & H_2O\\
H & 2 & 0 & 2\\
O & 0 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]
Ilosc wodorow w [latex-script-call]H_2[/latex-script-call]wynosi 2, stad w pierwszej kolumnie, pierwszym wierszu 2
Ilosc tlenow w [latex-script-call]H_2[/latex-script-call] wynosi 0, stad w pierwszej kolumnie, drugiem wierszu 0
Ilosc wodorow w [latex-script-call]O_2[/latex-script-call] wynosi 0, stad w drugiej kolumnie, pierwszym wierszu 0
Ilosc tlenow w [latex-script-call]O_2[/latex-script-call] wynosi 2, stad w drugiej kolumnie, drugiem wierszu 2
Ilosc wodorow w [latex-script-call]H_2O[/latex-script-call] wynosi 2, stad w trzeciej kolumnie, pierwszym wierszu 2
Ilosc tlenow w [latex-script-call]H_2O[/latex-script-call] wynosi 1, stad w trzeciej kolumnie, drugiem wierszu 1

Otrzymujemy na koncu macierz:
\begin{bmatrix}
2& 0 & 2\\
0& 2 & 1
\end{bmatrix}
ktora nalezy przeksztalcic do macierzy diagonalnej zero-jedynkowej. Wystarczy wiersz 1 i wiersz 2 podzielic przez 2. Lub jak kto woli dokonac eliminacji macierzy metoda Gaussa:

\begin{bmatrix}
1& 0 & 1\\
0& 1 & 1/2
\end{bmatrix}
Otrzymujemy ciekawy wektor: [1,1/2,-1]. Dla nas oznacza to:

[latex-script-call] 1 H_2 + 1/2 O_2- H_2O = 0[/latex-script-call]

co jest rownaniem chemicznym syntezy wody rownowaznym w wersji IUPAC.

3. Takim sposobem mozna bilansowac kazda reakcje, od red-ox po kwasowo-zasadowe. Jednakze nie zawsze to daje poprawny wynik w sensie chemicznym. Przyklad podam jutro.

[exodim]

Mozna ja przedstawic zgodnie z konwencja IUPAC w zapisie algebraicznym jako:

[latex-script-call]-2H_2 - O_2 + 2 H_2O = 0[/latex-script-call]

(...)

Otrzymujemy ciekawy wektor: [1,1/2,-1]. Dla nas oznacza to:

[latex-script-call] 1 H_2 + 1/2 O_2- H_2O = 0[/latex-script-call]

co jest rownaniem chemicznym syntezy wody rownowaznym w wersji IUPAC.

Jeśli podzielimy pierwsze równanie* przez -2, to wyjdzie nam to finalne równanie. Nie wiem po co do tego mieszać macierze, szczególnie jeśli się nie wie czym jest macierz diagonalna.

a jak poprawnie bilansować redoksy: http://open.agh.edu.pl/mod/resource/view.php?id=545

*zapisane niepoprawnie oczywiście, gdyż reagentów nie zapisuje się w ten sposób w żadnym wypadku, albo coś IUPAC oszalał, ale wątpię. Reakcje chemiczne nie podlegają zapisowi algebraicznemu - to przecież bez sensu, bo symbole chemiczne nie reprezentują żadnych liczb, ani nawet zmiennych, tylko związki chemiczne lub pierwiastki. Inaczej ma się sprawa ze stężeniami oznaczanymi np. [H2], [CH3COO-], [Na+] itp., w ich przypadku można stosować zapis algebraiczny, bo te symbole oznaczają konkretne liczby - stężenia lub niewiadome szukanych stężeń.

[Jester]

Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.

−2H2−O2+2H2O=0

[semele]

Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.

Chyba, że są to równania chemii jądrowej.

[exodim]

Chyba, że są to równania chemii jądrowej.

Przemiany jądrowe też zapisywane są w standardowej konwencji, przy czym bardzo często dla podkreślenia istoty zmiany po lewej stronie symbolu pierwiastka zapisuje się jego liczbę masową (w górnym indeksie) i atomową (w dolnym).
Przykład

Oczywiście, chemia jądrowa jest dziedziną ścisłą w znacznie większym stopniu niż preferująca raczej opis jakościowy chemia związków (chemia substancji), dlatego stosuje się w niej więcej wzorów i ogólnie większy nacisk kładzie się na model matematyczny różnych zjawisk np. w radiometrii czy w analizie składu izotopowego.

[Wron NIEmiecki]

Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.

Co do zapisu IUPAC. Ten zapis zostal stworzony na uzytek chemii fizycznej. Mianowicie obliczajac wielkosc entalpii reakcji przyjmuje sie zapis:


[latex]\Delta H(T) = \sum_{i=1}^{k} \nu i H_i(T)[/latex]


dla substratow znak przed vi jest ujemny, a dla produktow dodatni. Ci co nie znaja tego zapisu musza odejmowac sumy entalpi substratow od sumy entalpi produktow. Tak samo mozna liczyc inne funkcje termodynamiczne np entropie. Znajac te wielkosci w warunkach izobarycznych, mozemy policzyc entalpie swobodna jak i stala rownowagi reakcji chemicznej.

[Wron NIEmiecki]

Oczywiscie jestem winien szereg wyjasnien.

Liniowa kombinacja: Nie chce sie uciekac tutaj do definicji, ale pozwole sobie na krotkie przedstawienie jej sensu. Wezmy jakis punkt M od ktorego idziemy w kierunku polnocno-wschodnim. Kierunki polnocny i wschodni sa tutaj szczegolne, bowiem sa nieredukowalne. Nie da sie wyrazic kierunku wschodniego za pomoca kierunku polnocnego i vice versa, jesli rozwazymy operacje dodawania, odejmowania, dzielenia czy mnozenia. Natomiast kierunek polnocno-wschodni oznacza tyle, ze trzeba trochce pojsc na polnoc i troche na wschod od puktu M. Kierunek polnocno-wschodni jest liniowa kombinacja kierunkow polnocnego i wschodniego. Nieredukowalne wektory kierunku nazywane sa wektorami bazowymi. Wszystkie wektory bazowe dadza sie sprowadzic do kwadratowej macierzy jednostkowej:

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& wektor 1 & wektor 2 \\
wspolrzedna \,polnocna & 1 & 0 \\
wspolrzedna \,wschodnia & 0 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Inny przyklad liniowej kombinacji: Kupujemy za 100 zl X kilogramow jablek za A zl/kg oraz Y kilogramow gruszek za B zl/kg. Ceny jednostkowe jablek i gruszek sa od siebie niezalezne, lecz wydatek juz nie. Jest liniowa kombinacja cen obu produktow: 100 = AX+BY.

Niech beda dane reakcje chemiczne:

R1 [latex]C + H_2O = CO + H_2[/latex]
R2 [latex]C + CO_2 = 2CO[/latex]
R3 [latex]CO + H_2O = CO_2 + H_2[/latex]

Mozna wykazac, ze R3 jest liniowa kombinacja R1 oraz R2

Z R2 wynika, ze:

[latex]C = 2CO – CO_2 [/latex]

Wstawiamy to do R1:

[latex]2CO – CO_2 + H_2O = CO + H_2 [/latex]

Otrzymujemy:

[latex]CO + H_2O = CO_2 + H_2[/latex]

Czyli R3 = R1-R2. Mowimy, ze R3 jest liniowa kombinacja dwoch od siebie niezaleznych reakcji reakcji R1 oraz R2. W przypadku bardzo wielu reakacji zachodzacych w jakims procesie nie robi sie tego "na piechote", lecz z pomoca algerby liniowej. Szuka sie wtedy wektorow bazowych i liniowo zaleznych.

[exodim]

O to ci chodziło? http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_en...f_reaction

Tyle, że są to równania stanu, a nie zapis reakcji chemicznych. Symbole związków chemicznych zapisuje się w dolnym indeksie entalpii.

[Wron NIEmiecki]

O to ci chodziło? http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_en...f_reaction

Tyle, że są to równania stanu, a nie zapis reakcji chemicznych. Symbole związków chemicznych zapisuje się w dolnym indeksie entalpii.

Zgoda, ale zeby policzyc to rownanie stanu musisz znac udzialy poszczegolnych komponentow, by nastepnie je odpowiednio odjac
ΔH° = Σ(ν × ΔHf°) (products) - Σ(ν × ΔHf°) (reactants)
Tymczasem dla wygody obliczen stosuje sie konwencje IUPAC. I zamiast odejmowac odpowiednie wielkosci, sumuje sie je.
Chodzilo mi bardziej o:http://books.google.de/books?id=tClBDjcY...ra&f=false
http://sciencesoft.at/equation

[Wron NIEmiecki]

Kilka ciekawych reakcji:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& FeS_2 & O_2 & Fe_2O_3 & SO_2 \\
S & 2 & 0 & 0& 1 \\
Fe & 1 & 0 & 2 & 0 \\
O & 0 & 2 & 3 & 2
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& FeS_2 & O_2 & Fe_2O_3 & SO_2 \\
S & 1 & 0 & 0& 1/2 \\
O & 0 & 1 & 0 & 11/8 \\
Fe & 0 & 0 & 1 & -1/4
\end{array}
[/ninlatex]

Czyli [latex]SO_2 = 1/2 FeS_2 + 11/8O_2 -1/4Fe_2O_3[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]4FeS_2 + 11O_2 = 2Fe_2O_3+8SO_2[/latex].

Kolejny przyklad:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& Al & OH^{-} & H_2O & [Al(OH)_4]^{-}& H_2 \\
Al & 1 & 0 & 0& 1& 0 \\
H & 0 & 1 & 2 &4 & 2 \\
O & 0 & 1 & 1 &4 &0 \\
+- & 0 & -1 & 0 &-1& 0
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& Al & OH^{-} & H_2O & [Al(OH)_4]^{-}& H_2 \\
Al & 1 & 0 & 0& 0& 2/3 \\
H & 0 & 1 & 0 &0 & 2/3 \\
O & 0 & 0 & 1 &0 &2 \\
+- & 0 & 0 & 0 &1& -2/3
\end{array}
[/ninlatex]

Czyli [latex]H_2 = 2/3 Al + 2/3 OH^{-} + 2H_2O - 2/3[Al(OH)_4]^{-}[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]2Al + 2OH^{-} + 6H_2O = 2[Al(OH)_4]^{-} + 3H_2[/latex]

A teraz na koniec rownania, ktore bilansowo jest OK, ale chemicznie jest absurdalne!!!

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_6H_5CH_3 & O_2 & C_6H_5OH &CO_2& H_2O \\
H & 8 & 0 & 6& 0& 2 \\
C & 7 & 0 & 6 &1 & 0 \\
O & 0 & 2 & 1 &2& 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_6H_5CH_3 & O_2 & C_6H_5OH &CO_2& H_2O \\
H & 1 & 0 & 0& -1& 2 \\
O & 0 & 1 & 0 &1/3 & 5/3 \\
C & 0 & 0 & 1 &4/3& -7/3
\end{array}
[/ninlatex]
W tym wypadku mamy dwie liniowo niezalezne reakcje:
[latex]CO_2 = -C_6H_5CH_3 + 1/3O_2 +4/3C_6H_5OH[/latex]
[latex]H_2O = 2C_6H_5CH_3 + 5/3O_2 +7/3C_6H_5OH[/latex]
czyli:
[latex]4C_6H_5OH+O_2 =3C_6H_5CH_3 + 3CO2[/latex]
[latex]6C_6H_5CH_3+5O_2 = 7C_6H_5OH +3H_2O [/latex]

Utlenianie tolunenu jak wiadomo z praktyki prowadzi do powstania fenolu, dwutlenku wegla i wody. Tylko jedna reakcja przebiega przy takim wyborze produktow chemicznych. Liniowa algebra tego nie widzi i nie wie, ze proces utlenieniania toluenu wynika z kinetyki reakcji, a nie z jej bilansu!!!

[Wron NIEmiecki]

Nastepny przyklad z zastosowaniem algebry liniowej. Tym razem w wyliczaniu rownowag wielu reakcji w fazie gazowej. Dla uproszczen zaklada sie stosowalnosc rowniania gazu doskonalego.

Dane sa dwie reakcje, zachodzace przy 1000K i cisnieniu 1 bar
1. Reforming metanu, z [latex]K_1=24,568[/latex]
[latex]CH_4 + H_2O \rightleftharpoons CO + 3H_2[/latex]

2. Water-Shift-Reaction, z [latex]K_2=1,358[/latex]
[latex]CO + H_2O \rightleftharpoons CO_2 + H_2[/latex]

Zalozenie: na poczatku jest 1 mol metanu i a mol wody (mozna tez uzywac strumieni molowych). Dla kazdego reagenta zachodzi [latex]N_i = N_i0+\nu_i\xi[/latex], stad:
[latex]N_{CH_4}=1-\xi_I[/latex]
[latex]N_{H_2O}=a-\xi_I - \xi_{II}[/latex]
[latex]N_{CO}=\xi_I-\xi_{II}[/latex]
[latex]N_{H_2} = 3\xi_I + \xi_{II}[/latex]
[latex]N_{CO_2}=\xi_{II}[/latex]
[latex]\sum =1+a+2\xi_I[/latex]

Ulamki molowe:
[latex]x_{CH_4}=\frac{1-\xi_I}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{H_2O}=\frac{a-\xi_I - \xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{CO}=\frac{\xi_I-\xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{H_2}= \frac{3\xi_I + \xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{CO_2}=\frac{\xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]

Wyrazenia dla rownowag:
Reforming metanu

[latex]K_I=\frac{p^2x_{CO}x_{H_2}^3}{x_{CH_4}x_{H_2O}}[/latex]

WSR
[latex]K_{II}=\frac{x_{CO_2}x_{H_2}}{x_{CO}x_{H_2O}}[/latex]

Po przeksztalceniu:
[latex]f=p^2x_{CO}x_{H_2}^3-K_Ix_{CH_4}x_{H_2O}=0[/latex]
[latex]g=x_{CO_2}x_{H_2}-K_{II}x_{CO}x_{H_2O}=0[/latex]

Po wstawieniu ulamkow molowych:
[latex]f=p^2(\xi_I-\xi_{II})(3\xi_I+\xi_{II})^3-K_I(1-\xi_I)(a-\xi_I-\xi_{II})(1+a+2\xi_I)^2[/latex]
[latex]g=\xi_{II}(3\xi_I+\xi_{II})-K_{II}(\xi_I-\xi_{II})(a-\xi_I-\xi_{II})[/latex]

A teraz pochodne funkcji:

[latex]\frac{df}{d\xi_I}=p^2[(3\xi_I+\xi_II)^3+(\xi_I-\xi_{II})9(3\xi_I-\xi_{II})^2]-K_I[(-1-a+2\xi_I+\xi_{II})(1+a+2\xi_I)^2+(a-\xi_I-\xi_{II}-a\xi_I+\xi_I^2+\xi_I\xi_{II})4(1+a+2\xi_I)][/latex]
[latex]\frac{df}{d\xi_{II}}=p^2[-(3\xi_I+\xi_{II})^3+(\xi_I-\xi_{II})3(3\xi_I+\xi_{II})^2]-K_I(-1+\xi_I)(1+a+2\xi)^2[/latex]
[latex]\frac{dg}{d\xi_I}=3\xi_{II}-K_{II}[(a-\xi_I-\xi_{II})-(\xi_I-\xi_{II})][/latex]
[latex]\frac{dg}{d\xi_{II}}=(3\xi_I+2\xi_{II})+K_{II}[-(a-\xi_I-\xi_{II})-(\xi_I-\xi_{II})][/latex]

Do dalszych wyliczen potrzeba macierzy Jacobiego:

[ninlatex]
W=
\begin{bmatrix}
\frac{df}{d\xi_I} & \frac{df}{d\xi_{II}} \\
\frac{dg}{d\xi_I} & \frac{dg}{d\xi_{II}} \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

[ninlatex]
W_{\xi_I}= -
\begin{bmatrix}
f & \frac{df}{d\xi_{II}} \\
g & \frac{dg}{d\xi_{II}} \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

[ninlatex]
W_{\xi_{II}}= -
\begin{bmatrix}
\frac{df}{d\xi_I} & f \\
\frac{dg}{d\xi_I} & g \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

Obliczenia zaczyna sie od przyjecia sensownych wartosci poczatkowych dla [latex] \xi_{I}[/latex] oraz [latex]\xi_{II}[/latex] tak, aby dla kazdego reagenta [latex]N_i = N_i0+\nu_i\xi[/latex] bylo nieujemne. Tutaj przyjeto [latex]\xi_{I}=0,5[/latex] oraz [latex]\xi_{II}=0,25[/latex] i a = 3. Dalsze obliczenia wykonuje sie iteracyjnie:

[latex] \xi_{I}= \xi_{I}+\frac{W_{\xi_I}}{W}[/latex]
[latex] \xi_{II}= \xi_{II}+\frac{W_{\xi_{II}}}{W}[/latex]

Wyliczenia sa szybkozbiezne. Otrzymuje sie: [latex]\xi_{I}=0,9843[/latex] oraz [latex]\xi_{II}=0,3912[/latex].

[Rita]

...Kubuś?

[Wron NIEmiecki]

...Kubuś?

Nie, ale tez na K.:lol2:

[exodim]

Jesteś pewien, że dobrze policzyłeś te pochodne? :>

[Wron NIEmiecki]

Jesteś pewien, że dobrze policzyłeś te pochodne? :>

Mozesz skonfrontowac, ale forum nie pozwala na zalaczenie plikow xls

http://www.chemieonline.de/forum/showthr...p?t=178370

PS: Thnx.

[Wron NIEmiecki]

Jak juz zaznaczylem w poscie 10, poprawnosc algebraiczna jakiejs reakcji wcale nie oznacza, ze chemicznie moze zachodzic. Wezmy taki przyklad:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& CH_4 & H_2O & CO & H_2 & CO_2 \\
H & 4 & 2 & 0& 2 & 0 \\
C & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
O & 0 & 1 & 1 & 0 & 2
\end{array}
[/ninlatex]


Macierz przeksztalcona

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& CH_4 & H_2O & CO & H_2 & CO_2 \\
H & 1 & 0 & 0& 1/3 & -1/3 \\
C & 0 & 1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\
O & 0 & 0 & 1 & -1/3 & 4/3
\end{array}
[/ninlatex]


Czyli [latex]H_2 = 1/3 CH_4 + 1/3H_2O -1/3CO[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]CH_4 + H_2O=CO + 3H_2[/latex]. Ta reakcja chemicznie jest poprawna. Drugi wektor [latex]CO_2 = -1/3 CH_4 + 2/3H_2O+4/3CO[/latex] odpowiada klasycznemu zapisowi: [latex]CH_4 + 3CO_2=4CO + 2H_2O[/latex], co jest juz bzdura. Jak zatem znalesc poprawne rownanie? Nalezaloby zamienic kolumne z wodorem na kolumne z metanem.

Macierz pierwotna:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & H_2O & CO & CH_4 & CO_2 \\
H & 2 & 2 & 0& 4 & 0 \\
O & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
C & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz przeksztalcona:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & H_2O & CO & CH_4 & CO_2 \\
H & 1 & 0 & 0& 3 & -1 \\
O & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
C & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
[/ninlatex]
Uzyskujemy juz poprawne chemicznie reakcje:

[latex]CH_4 + H_2O=CO + 3H_2[/latex]
[latex]CO + H_2O=CO_2 + H_2[/latex]

Ciekawe jest, ze metan wystepuje tylko w pierwszej reakcji, a dwutlenek wegla tylko w drugiej. Jesli tak ustawimy kolumny niezero-jedynkowe, aby wyrazaly one zwiazki niepowtarzajace sie w rownaniach, wtedy uzyskamy poprawne reakcje chemiczne.

Inny przyklad: Znalesc reakcje chemiczne, jesli wiadomo, ze w mieszaninie sa metan, etan, etylen i acetylen, a na poczatku reakcji jest tylko etan.

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_2H_6 & C_2H_4 & H_2 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 6 & 4 & 2& 2 & 4 \\
C & 2 & 2 & 0 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz przeksztalcona
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_2H_6 & C_2H_4 & H_2 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 1 & 0 & 1& -1 & 1 \\
C & 0 & 1 & -1 & 2 & -1/2
\end{array}
[/ninlatex]

Mamy trzy reakcje niezalezne:
[latex]C_2H_6 =C_2H_4 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_2 + C_2H_6 =2C_2H_4[/latex]
[latex]2CH_4 + C_2H_4 =2C_2H_6[/latex]

Brak tu reakcji tworzenia acetylenu, stad trzeba znalesc inne rozwiazanie - odpowiednio przestawic kolumny niezero-jedynkowe. Niech pierwsza kolumna niezero-jedynkowa bedzie etan, druga acetylen, a trzecia metan. Uzyskujemy macierz pierwotna:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & C_2H_4 & C_2H_6 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 2 & 4 & 6& 2 & 4 \\
C & 0 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

oraz macierz przeksztalcona:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & C_2H_4 & C_2H_6 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 1 & 0 & 1& -1 & 1 \\
C & 0 & 1 & 1 & 1 & 1/2
\end{array}
[/ninlatex]

Uzyskujemy trzy poprawne chemicznie reakcje niezalezne:
[latex]C_2H_6 =C_2H_4 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_4 = C_2H_2 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_4 + 2H_2 = 2CH_4[/latex]