Ocena wątku:
  • 0 głosów - średnia: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Algebra liniowa w sluzbie chemii
#1
Jako ze duzo programuje w VBA i Excelu, trafilem na dosc interesujacy sposob rozwiazywania rownanan chemicznych za pomoca metod algebry liniowej. Nie zamierzam od razu walic z grubej rury, lecz przedstawic wstep do tego zagadnienia, zeby idea zostala zrozumiana.
1. Wezmy jedna z najprostszych reakcji chemicznych:

[latex-script-call]2H_2 + O_2 \rightleftharpoons 2 H_2O[/latex-script-call]

Mozna ja przedstawic zgodnie z konwencja IUPAC w zapisie algebraicznym jako:

[latex-script-call]-2H_2 - O_2 + 2 H_2O = 0[/latex-script-call]

gdzie ujemne wspolczynniki sa dla substratow, a pozytywne dla produktow

2. Powiedzmy, ze nie znamy stechiometrii miedzy wodorem a tlenem i woda, a jedynie znam wzory sumaryczne produktow. Jak je zatem matematycznie ustalic?

Najpierw nalezy zrobic bilans, ale nie taki zwykly! Nalezy przeanalizowac jakie atomy wchodza w sklad wszystkich reagentow oraz ostalic ich ilosc. Mozna to zrobic tak:

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & O_2 & H_2O\\
H & 2 & 0 & 2\\
O & 0 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]
Ilosc wodorow w [latex-script-call]H_2[/latex-script-call]wynosi 2, stad w pierwszej kolumnie, pierwszym wierszu 2
Ilosc tlenow w [latex-script-call]H_2[/latex-script-call] wynosi 0, stad w pierwszej kolumnie, drugiem wierszu 0
Ilosc wodorow w [latex-script-call]O_2[/latex-script-call] wynosi 0, stad w drugiej kolumnie, pierwszym wierszu 0
Ilosc tlenow w [latex-script-call]O_2[/latex-script-call] wynosi 2, stad w drugiej kolumnie, drugiem wierszu 2
Ilosc wodorow w [latex-script-call]H_2O[/latex-script-call] wynosi 2, stad w trzeciej kolumnie, pierwszym wierszu 2
Ilosc tlenow w [latex-script-call]H_2O[/latex-script-call] wynosi 1, stad w trzeciej kolumnie, drugiem wierszu 1

Otrzymujemy na koncu macierz:
\begin{bmatrix}
2& 0 & 2\\
0& 2 & 1
\end{bmatrix}
ktora nalezy przeksztalcic do macierzy diagonalnej zero-jedynkowej. Wystarczy wiersz 1 i wiersz 2 podzielic przez 2. Lub jak kto woli dokonac eliminacji macierzy metoda Gaussa:

\begin{bmatrix}
1& 0 & 1\\
0& 1 & 1/2
\end{bmatrix}
Otrzymujemy ciekawy wektor: [1,1/2,-1]. Dla nas oznacza to:

[latex-script-call] 1 H_2 + 1/2 O_2- H_2O = 0[/latex-script-call]

co jest rownaniem chemicznym syntezy wody rownowaznym w wersji IUPAC.

3. Takim sposobem mozna bilansowac kazda reakcje, od red-ox po kwasowo-zasadowe. Jednakze nie zawsze to daje poprawny wynik w sensie chemicznym. Przyklad podam jutro.
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#2
Wron NIEmiecki napisał(a):Mozna ja przedstawic zgodnie z konwencja IUPAC w zapisie algebraicznym jako:

[latex-script-call]-2H_2 - O_2 + 2 H_2O = 0[/latex-script-call]

(...)

Otrzymujemy ciekawy wektor: [1,1/2,-1]. Dla nas oznacza to:

[latex-script-call] 1 H_2 + 1/2 O_2- H_2O = 0[/latex-script-call]

co jest rownaniem chemicznym syntezy wody rownowaznym w wersji IUPAC.

Jeśli podzielimy pierwsze równanie* przez -2, to wyjdzie nam to finalne równanie. Nie wiem po co do tego mieszać macierze, szczególnie jeśli się nie wie czym jest macierz diagonalna.

a jak poprawnie bilansować redoksy: http://open.agh.edu.pl/mod/resource/view.php?id=545

*zapisane niepoprawnie oczywiście, gdyż reagentów nie zapisuje się w ten sposób w żadnym wypadku, albo coś IUPAC oszalał, ale wątpię. Reakcje chemiczne nie podlegają zapisowi algebraicznemu - to przecież bez sensu, bo symbole chemiczne nie reprezentują żadnych liczb, ani nawet zmiennych, tylko związki chemiczne lub pierwiastki. Inaczej ma się sprawa ze stężeniami oznaczanymi np. [H2], [CH3COO-], [Na+] itp., w ich przypadku można stosować zapis algebraiczny, bo te symbole oznaczają konkretne liczby - stężenia lub niewiadome szukanych stężeń.
Vi Veri Veniversum Vivus Vici
Odpowiedz
#3
Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.
Cytat:−2H2−O2+2H2O=0
"Equality is a lie. A myth to appease the masses. Simply look around and you will see the lie for what it is! There are those with power, those with the strength and will to lead. And there are those meant to follow – those incapable of anything but servitude and a meager, worthless existence."
Odpowiedz
#4
Jester napisał(a):Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.

Chyba, że są to równania chemii jądrowej.Uśmiech
Odpowiedz
#5
teresa124 napisał(a):Chyba, że są to równania chemii jądrowej.Uśmiech

Przemiany jądrowe też zapisywane są w standardowej konwencji, przy czym bardzo często dla podkreślenia istoty zmiany po lewej stronie symbolu pierwiastka zapisuje się jego liczbę masową (w górnym indeksie) i atomową (w dolnym).
Przykład

Oczywiście, chemia jądrowa jest dziedziną ścisłą w znacznie większym stopniu niż preferująca raczej opis jakościowy chemia związków (chemia substancji), dlatego stosuje się w niej więcej wzorów i ogólnie większy nacisk kładzie się na model matematyczny różnych zjawisk np. w radiometrii czy w analizie składu izotopowego.
Vi Veri Veniversum Vivus Vici
Odpowiedz
#6
Jester napisał(a):Bilansowanie równań chemicznych za pomocą macierzy brzmi trochę jak liczenie pola prostokąta za pomocą całki.

No niby można, ale po co?

No i nigdy nie słyszałem o takim zapisie, a drugi rok studiuje kierunek chemiczny.

Co do zapisu IUPAC. Ten zapis zostal stworzony na uzytek chemii fizycznej. Mianowicie obliczajac wielkosc entalpii reakcji przyjmuje sie zapis:


[latex]\Delta H(T) = \sum_{i=1}^{k} \nu i H_i(T)[/latex]


dla substratow znak przed vi jest ujemny, a dla produktow dodatni. Ci co nie znaja tego zapisu musza odejmowac sumy entalpi substratow od sumy entalpi produktow. Tak samo mozna liczyc inne funkcje termodynamiczne np entropie. Znajac te wielkosci w warunkach izobarycznych, mozemy policzyc entalpie swobodna jak i stala rownowagi reakcji chemicznej.
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#7
Oczywiscie jestem winien szereg wyjasnien.

Liniowa kombinacja: Nie chce sie uciekac tutaj do definicji, ale pozwole sobie na krotkie przedstawienie jej sensu. Wezmy jakis punkt M od ktorego idziemy w kierunku polnocno-wschodnim. Kierunki polnocny i wschodni sa tutaj szczegolne, bowiem sa nieredukowalne. Nie da sie wyrazic kierunku wschodniego za pomoca kierunku polnocnego i vice versa, jesli rozwazymy operacje dodawania, odejmowania, dzielenia czy mnozenia. Natomiast kierunek polnocno-wschodni oznacza tyle, ze trzeba trochce pojsc na polnoc i troche na wschod od puktu M. Kierunek polnocno-wschodni jest liniowa kombinacja kierunkow polnocnego i wschodniego. Nieredukowalne wektory kierunku nazywane sa wektorami bazowymi. Wszystkie wektory bazowe dadza sie sprowadzic do kwadratowej macierzy jednostkowej:

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& wektor 1 & wektor 2 \\
wspolrzedna \,polnocna & 1 & 0 \\
wspolrzedna \,wschodnia & 0 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Inny przyklad liniowej kombinacji: Kupujemy za 100 zl X kilogramow jablek za A zl/kg oraz Y kilogramow gruszek za B zl/kg. Ceny jednostkowe jablek i gruszek sa od siebie niezalezne, lecz wydatek juz nie. Jest liniowa kombinacja cen obu produktow: 100 = AX+BY.

Niech beda dane reakcje chemiczne:

R1 [latex]C + H_2O = CO + H_2[/latex]
R2 [latex]C + CO_2 = 2CO[/latex]
R3 [latex]CO + H_2O = CO_2 + H_2[/latex]

Mozna wykazac, ze R3 jest liniowa kombinacja R1 oraz R2

Z R2 wynika, ze:

[latex]C = 2CO – CO_2 [/latex]

Wstawiamy to do R1:

[latex]2CO – CO_2 + H_2O = CO + H_2 [/latex]

Otrzymujemy:

[latex]CO + H_2O = CO_2 + H_2[/latex]

Czyli R3 = R1-R2. Mowimy, ze R3 jest liniowa kombinacja dwoch od siebie niezaleznych reakcji reakcji R1 oraz R2. W przypadku bardzo wielu reakacji zachodzacych w jakims procesie nie robi sie tego "na piechote", lecz z pomoca algerby liniowej. Szuka sie wtedy wektorow bazowych i liniowo zaleznych.
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#8
O to ci chodziło? http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_en...f_reaction

Tyle, że są to równania stanu, a nie zapis reakcji chemicznych. Symbole związków chemicznych zapisuje się w dolnym indeksie entalpii.
Vi Veri Veniversum Vivus Vici
Odpowiedz
#9
exodim napisał(a):O to ci chodziło? http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_en...f_reaction

Tyle, że są to równania stanu, a nie zapis reakcji chemicznych. Symbole związków chemicznych zapisuje się w dolnym indeksie entalpii.

Zgoda, ale zeby policzyc to rownanie stanu musisz znac udzialy poszczegolnych komponentow, by nastepnie je odpowiednio odjac
ΔH° = Σ(ν × ΔHf°) (products) - Σ(ν × ΔHf°) (reactants)
Tymczasem dla wygody obliczen stosuje sie konwencje IUPAC. I zamiast odejmowac odpowiednie wielkosci, sumuje sie je.
Chodzilo mi bardziej o:http://books.google.de/books?id=tClBDjcY...ra&f=false
http://sciencesoft.at/equation
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#10
Kilka ciekawych reakcji:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& FeS_2 & O_2 & Fe_2O_3 & SO_2 \\
S & 2 & 0 & 0& 1 \\
Fe & 1 & 0 & 2 & 0 \\
O & 0 & 2 & 3 & 2
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& FeS_2 & O_2 & Fe_2O_3 & SO_2 \\
S & 1 & 0 & 0& 1/2 \\
O & 0 & 1 & 0 & 11/8 \\
Fe & 0 & 0 & 1 & -1/4
\end{array}
[/ninlatex]

Czyli [latex]SO_2 = 1/2 FeS_2 + 11/8O_2 -1/4Fe_2O_3[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]4FeS_2 + 11O_2 = 2Fe_2O_3+8SO_2[/latex].

Kolejny przyklad:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& Al & OH^{-} & H_2O & [Al(OH)_4]^{-}& H_2 \\
Al & 1 & 0 & 0& 1& 0 \\
H & 0 & 1 & 2 &4 & 2 \\
O & 0 & 1 & 1 &4 &0 \\
+- & 0 & -1 & 0 &-1& 0
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& Al & OH^{-} & H_2O & [Al(OH)_4]^{-}& H_2 \\
Al & 1 & 0 & 0& 0& 2/3 \\
H & 0 & 1 & 0 &0 & 2/3 \\
O & 0 & 0 & 1 &0 &2 \\
+- & 0 & 0 & 0 &1& -2/3
\end{array}
[/ninlatex]

Czyli [latex]H_2 = 2/3 Al + 2/3 OH^{-} + 2H_2O - 2/3[Al(OH)_4]^{-}[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]2Al + 2OH^{-} + 6H_2O = 2[Al(OH)_4]^{-} + 3H_2[/latex]

A teraz na koniec rownania, ktore bilansowo jest OK, ale chemicznie jest absurdalne!!!

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_6H_5CH_3 & O_2 & C_6H_5OH &CO_2& H_2O \\
H & 8 & 0 & 6& 0& 2 \\
C & 7 & 0 & 6 &1 & 0 \\
O & 0 & 2 & 1 &2& 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz po przeksztalceniu
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_6H_5CH_3 & O_2 & C_6H_5OH &CO_2& H_2O \\
H & 1 & 0 & 0& -1& 2 \\
O & 0 & 1 & 0 &1/3 & 5/3 \\
C & 0 & 0 & 1 &4/3& -7/3
\end{array}
[/ninlatex]
W tym wypadku mamy dwie liniowo niezalezne reakcje:
[latex]CO_2 = -C_6H_5CH_3 + 1/3O_2 +4/3C_6H_5OH[/latex]
[latex]H_2O = 2C_6H_5CH_3 + 5/3O_2 +7/3C_6H_5OH[/latex]
czyli:
[latex]4C_6H_5OH+O_2 =3C_6H_5CH_3 + 3CO2[/latex]
[latex]6C_6H_5CH_3+5O_2 = 7C_6H_5OH +3H_2O [/latex]

Utlenianie tolunenu jak wiadomo z praktyki prowadzi do powstania fenolu, dwutlenku wegla i wody. Tylko jedna reakcja przebiega przy takim wyborze produktow chemicznych. Liniowa algebra tego nie widzi i nie wie, ze proces utlenieniania toluenu wynika z kinetyki reakcji, a nie z jej bilansu!!!
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#11
Nastepny przyklad z zastosowaniem algebry liniowej. Tym razem w wyliczaniu rownowag wielu reakcji w fazie gazowej. Dla uproszczen zaklada sie stosowalnosc rowniania gazu doskonalego.

Dane sa dwie reakcje, zachodzace przy 1000K i cisnieniu 1 bar
1. Reforming metanu, z [latex]K_1=24,568[/latex]
[latex]CH_4 + H_2O \rightleftharpoons CO + 3H_2[/latex]

2. Water-Shift-Reaction, z [latex]K_2=1,358[/latex]
[latex]CO + H_2O \rightleftharpoons CO_2 + H_2[/latex]

Zalozenie: na poczatku jest 1 mol metanu i a mol wody (mozna tez uzywac strumieni molowych). Dla kazdego reagenta zachodzi [latex]N_i = N_i0+\nu_i\xi[/latex], stad:
[latex]N_{CH_4}=1-\xi_I[/latex]
[latex]N_{H_2O}=a-\xi_I - \xi_{II}[/latex]
[latex]N_{CO}=\xi_I-\xi_{II}[/latex]
[latex]N_{H_2} = 3\xi_I + \xi_{II}[/latex]
[latex]N_{CO_2}=\xi_{II}[/latex]
[latex]\sum =1+a+2\xi_I[/latex]

Ulamki molowe:
[latex]x_{CH_4}=\frac{1-\xi_I}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{H_2O}=\frac{a-\xi_I - \xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{CO}=\frac{\xi_I-\xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{H_2}= \frac{3\xi_I + \xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]
[latex]x_{CO_2}=\frac{\xi_{II}}{1+a+2\xi_I}[/latex]

Wyrazenia dla rownowag:
Reforming metanu

[latex]K_I=\frac{p^2x_{CO}x_{H_2}^3}{x_{CH_4}x_{H_2O}}[/latex]

WSR
[latex]K_{II}=\frac{x_{CO_2}x_{H_2}}{x_{CO}x_{H_2O}}[/latex]

Po przeksztalceniu:
[latex]f=p^2x_{CO}x_{H_2}^3-K_Ix_{CH_4}x_{H_2O}=0[/latex]
[latex]g=x_{CO_2}x_{H_2}-K_{II}x_{CO}x_{H_2O}=0[/latex]

Po wstawieniu ulamkow molowych:
[latex]f=p^2(\xi_I-\xi_{II})(3\xi_I+\xi_{II})^3-K_I(1-\xi_I)(a-\xi_I-\xi_{II})(1+a+2\xi_I)^2[/latex]
[latex]g=\xi_{II}(3\xi_I+\xi_{II})-K_{II}(\xi_I-\xi_{II})(a-\xi_I-\xi_{II})[/latex]

A teraz pochodne funkcji:

[latex]\frac{df}{d\xi_I}=p^2[(3\xi_I+\xi_II)^3+(\xi_I-\xi_{II})9(3\xi_I-\xi_{II})^2]-K_I[(-1-a+2\xi_I+\xi_{II})(1+a+2\xi_I)^2+(a-\xi_I-\xi_{II}-a\xi_I+\xi_I^2+\xi_I\xi_{II})4(1+a+2\xi_I)][/latex]
[latex]\frac{df}{d\xi_{II}}=p^2[-(3\xi_I+\xi_{II})^3+(\xi_I-\xi_{II})3(3\xi_I+\xi_{II})^2]-K_I(-1+\xi_I)(1+a+2\xi)^2[/latex]
[latex]\frac{dg}{d\xi_I}=3\xi_{II}-K_{II}[(a-\xi_I-\xi_{II})-(\xi_I-\xi_{II})][/latex]
[latex]\frac{dg}{d\xi_{II}}=(3\xi_I+2\xi_{II})+K_{II}[-(a-\xi_I-\xi_{II})-(\xi_I-\xi_{II})][/latex]

Do dalszych wyliczen potrzeba macierzy Jacobiego:

[ninlatex]
W=
\begin{bmatrix}
\frac{df}{d\xi_I} & \frac{df}{d\xi_{II}} \\
\frac{dg}{d\xi_I} & \frac{dg}{d\xi_{II}} \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

[ninlatex]
W_{\xi_I}= -
\begin{bmatrix}
f & \frac{df}{d\xi_{II}} \\
g & \frac{dg}{d\xi_{II}} \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

[ninlatex]
W_{\xi_{II}}= -
\begin{bmatrix}
\frac{df}{d\xi_I} & f \\
\frac{dg}{d\xi_I} & g \\
\end{bmatrix}
[/ninlatex]

Obliczenia zaczyna sie od przyjecia sensownych wartosci poczatkowych dla [latex] \xi_{I}[/latex] oraz [latex]\xi_{II}[/latex] tak, aby dla kazdego reagenta [latex]N_i = N_i0+\nu_i\xi[/latex] bylo nieujemne. Tutaj przyjeto [latex]\xi_{I}=0,5[/latex] oraz [latex]\xi_{II}=0,25[/latex] i a = 3. Dalsze obliczenia wykonuje sie iteracyjnie:

[latex] \xi_{I}= \xi_{I}+\frac{W_{\xi_I}}{W}[/latex]
[latex] \xi_{II}= \xi_{II}+\frac{W_{\xi_{II}}}{W}[/latex]

Wyliczenia sa szybkozbiezne. Otrzymuje sie: [latex]\xi_{I}=0,9843[/latex] oraz [latex]\xi_{II}=0,3912[/latex].
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#12
...Kubuś?
The spice must flow
Odpowiedz
#13
Rita napisał(a):...Kubuś?

Nie, ale tez na K.:lol2:
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#14
Jesteś pewien, że dobrze policzyłeś te pochodne? :>
Vi Veri Veniversum Vivus Vici
Odpowiedz
#15
exodim napisał(a):Jesteś pewien, że dobrze policzyłeś te pochodne? :>

Mozesz skonfrontowac, ale forum nie pozwala na zalaczenie plikow xls Oczko

http://www.chemieonline.de/forum/showthr...p?t=178370

PS: Thnx.
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz
#16
Jak juz zaznaczylem w poscie 10, poprawnosc algebraiczna jakiejs reakcji wcale nie oznacza, ze chemicznie moze zachodzic. Wezmy taki przyklad:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& CH_4 & H_2O & CO & H_2 & CO_2 \\
H & 4 & 2 & 0& 2 & 0 \\
C & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
O & 0 & 1 & 1 & 0 & 2
\end{array}
[/ninlatex]


Macierz przeksztalcona

[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& CH_4 & H_2O & CO & H_2 & CO_2 \\
H & 1 & 0 & 0& 1/3 & -1/3 \\
C & 0 & 1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\
O & 0 & 0 & 1 & -1/3 & 4/3
\end{array}
[/ninlatex]


Czyli [latex]H_2 = 1/3 CH_4 + 1/3H_2O -1/3CO[/latex]. Jest to rownowazne klasycznemu zapisowi: [latex]CH_4 + H_2O=CO + 3H_2[/latex]. Ta reakcja chemicznie jest poprawna. Drugi wektor [latex]CO_2 = -1/3 CH_4 + 2/3H_2O+4/3CO[/latex] odpowiada klasycznemu zapisowi: [latex]CH_4 + 3CO_2=4CO + 2H_2O[/latex], co jest juz bzdura. Jak zatem znalesc poprawne rownanie? Nalezaloby zamienic kolumne z wodorem na kolumne z metanem.

Macierz pierwotna:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & H_2O & CO & CH_4 & CO_2 \\
H & 2 & 2 & 0& 4 & 0 \\
O & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
C & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz przeksztalcona:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & H_2O & CO & CH_4 & CO_2 \\
H & 1 & 0 & 0& 3 & -1 \\
O & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
C & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
[/ninlatex]
Uzyskujemy juz poprawne chemicznie reakcje:

[latex]CH_4 + H_2O=CO + 3H_2[/latex]
[latex]CO + H_2O=CO_2 + H_2[/latex]

Ciekawe jest, ze metan wystepuje tylko w pierwszej reakcji, a dwutlenek wegla tylko w drugiej. Jesli tak ustawimy kolumny niezero-jedynkowe, aby wyrazaly one zwiazki niepowtarzajace sie w rownaniach, wtedy uzyskamy poprawne reakcje chemiczne.

Inny przyklad: Znalesc reakcje chemiczne, jesli wiadomo, ze w mieszaninie sa metan, etan, etylen i acetylen, a na poczatku reakcji jest tylko etan.

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_2H_6 & C_2H_4 & H_2 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 6 & 4 & 2& 2 & 4 \\
C & 2 & 2 & 0 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

Macierz przeksztalcona
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& C_2H_6 & C_2H_4 & H_2 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 1 & 0 & 1& -1 & 1 \\
C & 0 & 1 & -1 & 2 & -1/2
\end{array}
[/ninlatex]

Mamy trzy reakcje niezalezne:
[latex]C_2H_6 =C_2H_4 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_2 + C_2H_6 =2C_2H_4[/latex]
[latex]2CH_4 + C_2H_4 =2C_2H_6[/latex]

Brak tu reakcji tworzenia acetylenu, stad trzeba znalesc inne rozwiazanie - odpowiednio przestawic kolumny niezero-jedynkowe. Niech pierwsza kolumna niezero-jedynkowa bedzie etan, druga acetylen, a trzecia metan. Uzyskujemy macierz pierwotna:

Macierz pierwotna
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & C_2H_4 & C_2H_6 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 2 & 4 & 6& 2 & 4 \\
C & 0 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{array}
[/ninlatex]

oraz macierz przeksztalcona:
[ninlatex]
\begin{array}{llll}
& H_2 & C_2H_4 & C_2H_6 & C_2H_2 & CH_4 \\
H & 1 & 0 & 1& -1 & 1 \\
C & 0 & 1 & 1 & 1 & 1/2
\end{array}
[/ninlatex]

Uzyskujemy trzy poprawne chemicznie reakcje niezalezne:
[latex]C_2H_6 =C_2H_4 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_4 = C_2H_2 + H_2[/latex]
[latex]C_2H_4 + 2H_2 = 2CH_4[/latex]
"Podwładny powinien przed obliczem przełożonego mieć wygląd lichy i durnowaty tak, by swoim pojmowaniem istoty sprawy nie peszyć przełożonego" - ukaz cara Rosji Piotra I z 9 grudnia 1708 roku
 "Cudów nie ma" - Józef Stalin
Odpowiedz


Skocz do:


Użytkownicy przeglądający ten wątek: 1 gości