[Fanuel]

Dobra, po kolei.

W przypadku nieskończonych zbiorów pomysł policzenia ile jest w nich elementów i porównywania wyników ma małe szanse powodzenia, ale jest sposób na sprawdzenie, czy dwa zbiory mają tyle samo elementów, który działa też w tym przypadku.

Wyobraź sobie, że masz salę pełną ludzi i masz powiedzieć, czy więcej jest kobiet, czy mężczyzn, czy może jest ich tyle samo. Możesz chodzić i wszystkich zliczać, ale możesz też po prostu kazać im dobrać się w pary - i voila, od razu widać, kogo jest więcej. To samo robi się z liczbami.

Na przykład, można pokazać, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb naturalnych parzystych, przyporządkowując je tak:
1 - 2
2 - 4
3 - 6
...
n - 2n

Proszę, każda liczba z obu zbiorów ma parę, każda jest też na liście. Morał - zbiory są równoliczne.

Analogicznie można pokazać, że liczb naturalnych jest tyle samo, co całkowitych i tyle samo, co wymiernych. Okazuje się jednak, że nie da się tak zrobić z liczbami rzeczywistymi - zawsze jakaś zostanie. Najpopularniejszy dowód jest taki:

Wyobraźmy sobie, że ponumerowaliśmy w jakiś sposób liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi. Np.:
1 - 0,23456790.....
2 - 0,98445921.....
3 - 4,56723199.....
itp.

Teraz stwórzmy liczbę taką, która ma na pierwszym miejscu po przecinku cokolwiek innego niż 2, na drugim - cokolwiek innego niż 8, na trzecim - cokolwiek innego niż 7, na czwartym - cokolwiek innego, niż jest na czwartym miejscu po przecinku czwartej liczby itd. Czy jest ona gdzieś na tej liście? Pod numerem 1 nie, bo ma co innego na pierwszym miejscu po przecinku. Pod numerem 2 też nie, bo ma co innego na drugim miejscu. Itd, itp. - nie może jej być nigdzie na liście. Coś nam więc zostało.

Zauważmy, że nie robiliśmy żadnych założeń co do listy. To oznacza, że jakakolwiek by nie była, coś zawsze zostanie. Jedyny wniosek jaki się nasuwa, to że liczb rzeczywistych jest więcej, niż naturalnych (i tym samym niż całkowitych czy wymiernych), mimo, że też jest ich nieskończoność. Mamy już dwie nieskończonośc

Co do pogrubionej listy, to jak to jest z przyporządkowaniami. O ile dobrze wnioskuje to każdej kolejnej cyfry po przecinku na konkretnym miejscu może być tylko 10 możliwości (od 0 do 9) czy to znaczy że taka ilość warunkuje to że liczb naturalnych jest parzysta ilość a rzeczywistych nie?

Zauważmy, że nie robiliśmy żadnych założeń co do listy. To oznacza, że jakakolwiek by nie była, coś zawsze zostanie. Jedyny wniosek jaki się nasuwa, to że liczb rzeczywistych jest więcej, niż naturalnych (i tym samym niż całkowitych czy wymiernych), mimo, że też jest ich nieskończoność. Mamy już dwie nieskończoności.

Okazuje się, że jest jeszcze gorzej. Jeśli weźmiemy zbiór wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, to będzie ich nawet więcej, niż liczb rzeczywistych. Ogólnie, zbiór podzbiorów zbioru X zawsze jest większy, niż zbiór X - nawet, jeśli X jest nieskończony. Nigdy wtedy nie uda się zrobić przyporządkowania takiego, żeby wyczerpać wszystkie elementy zbioru podzbiorów.

Gdzie w tym sens, gdzie w tym logika?