[Nonkonformista]

Czy znajdę gdzieś wykres albo generator funkcji?

Wykres można sobie wyobrazić, chociaż pewnie szybciej jest użyć wolframa.

Dla ustalenia uwagi weźmy [latex]a = 2[/latex] czyli [latex]f(x) = \log_{\sin(x)}(2)[/latex].

Najpierw trzeba uprzytomnić sobie, że zachodzi
[latex]\log_b a = \frac{1}{\log_a b}[/latex]
Przy czym [latex]a,b[/latex] są nieujemne oraz [latex]a,b\neq 1[/latex]. Stąd wynika, że
[latex]f(x) = \log_{\sin(x)}2 = \frac{1}{\log_2(\sin(x))}[/latex]
dla [latex]x \in D[/latex]. Teraz jeśli [latex]x[/latex] zmienia się od [latex]0[/latex] do [latex]\frac{\pi}{2}[/latex], to [latex]\sin(x)[/latex] rośnie od [latex]0[/latex] do [latex]1[/latex]. Zatem [latex]\log_2(\sin(x))[/latex] rośnie od [latex]-\infty[/latex] do [latex]0[/latex]. Stąd wynika, że odwrotność [latex]\frac{1}{\log_2(\sin(x))}[/latex] maleje od [latex]0[/latex] do [latex]-\infty[/latex]. Podsumowując na przedziale [latex]0 < x < \frac{\pi}{2}[/latex] funkcja [latex]f[/latex] maleje od [latex]0[/latex] do [latex]-\infty[/latex].

Tak samo można pokazać, że na przedziale [latex]\frac{\pi}{2} < x < \pi[/latex] funkcja [latex]f[/latex] rośnie od [latex]-\infty[/latex] do [latex]0[/latex].

Następnie trzeba zauważyć, że dziedzina [latex]D[/latex] funkcji [latex]f[/latex] składa się z przesunięć sumy przedziałów [latex]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)[/latex] o całkowite wielokrotności [latex]2\pi[/latex]. Z racji, że [latex]\sin(x)[/latex] jest fnk. okresową o okresie [latex]2\pi[/latex] widać, że na pozostałej części dziedziny [latex]D[/latex] wykres funkcji [latex]f[/latex] będzie po prostu przesunieciem o odpowiednią wielokrotność [latex]2\pi[/latex] wykresu tej funkcji na [latex]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)[/latex].

Można też pokazać, że dla [latex]a = \frac{1}{2}[/latex] wykres będzie odbiciem symetrycznym względem osi x-ów wykresu dla [latex]a = 2[/latex]. Oczywiście zachodzi to dla kazdej liczby nieujemnej  i jej odwrotności.

Dziękuję pięknie.